Exercício 04: Mostre que a proposição
implica a proposição
em cada um dos seguintes casos:
é um losango;
é um paralelogramo
Passo 1
O enunciado dá uma proposição
e uma proposição
:
-
: é um losango. -
: é um paralelogramo.
O que se pede: mostrar que
implica
, isto é, provar que se
é um losango então
é um paralelogramo.
Informações explícitas que temos (diretamente do enunciado):
- Os vértices do quadrilátero estão nomeados
em ordem (convenção usual). - No losango todos os quatro lados são congruentes:
.
Passo 2
Lembrete das definições e ferramentas que vamos usar (explicadas de forma simples):
- Definição de losango: quadrilátero com os quatro lados congruentes, ou seja, se
é losango então - Definição de paralelogramo: quadrilátero cujos pares de lados opostos são paralelos; isto é, para
ser paralelogramo precisamos provar - Congruência por SSS (lado-lado-lado): se dois triângulos têm três pares de lados correspondentes congruentes, então os triângulos são congruentes e, em particular, os ângulos correspondentes são iguais.
- Uma consequência geométrica simples: se uma reta corta duas outras e faz ângulos alternos internos iguais com elas, então as duas retas são paralelas. Em símbolos: se, para uma transversal, um ângulo formado com a reta 1 é igual ao ângulo correspondente formado com a reta 2, então as retas são paralelas.
Vou usar essas ideias para provar as duas paralelidades necessárias.
Passo 3
Provar
.
Considere a diagonal
. Observe os triângulos
e
.
- No losango temos
(opostos dos valores de um mesmo conjunto de quatro iguais). - Também
. - E a diagonal
é comum aos dois triângulos, então .
Portanto, pelos três lados:
os triângulos
e
são congruentes por SSS.
Da congruência resulta que o ângulo entre
e
em
é igual ao ângulo entre
e
em
. Em notação:
Esses dois ângulos são ângulos alternos internos formados pela transversal
que intercepta as retas
e
. Como ângulos alternos internos são iguais, concluímos que
Passo 4
Provar
.
Agora considere a outra diagonal
. Observe os triângulos
e
.
- Pelo losango temos
. - Temos também
. - A diagonal
é comum, então .
Assim,
logo
e
são congruentes por SSS.
Da congruência segue que o ângulo entre
e
em
é igual ao ângulo entre
e
em
. Em notação:
Esses são ângulos alternos internos formados pela transversal
que intercepta as retas
e
. Como esses ângulos são iguais, concluímos que
Passo 5
Concluir a implicação
.
Juntando os resultados dos passos anteriores temos que, a partir de
ser losango (isto é,
), obtivemos
Isso é exatamente a definição de paralelogramo. Portanto, mostramos que se
é losango então
é paralelogramo, ou seja,
.
Força aí — a ideia central é sempre tentar formar triângulos congruentes com uma diagonal e usar ângulos alternos internos para deduzir paralelismo; é uma técnica que cai bastante em prova.
Resposta
Se
é losango então
é paralelogramo.