Exercício 04: Mostre que a proposição p implica a proposição q(p \Rightarrow q) em cada um dos seguintes casos:
p: A B C D é um losango; q: A B C D é um paralelogramo

Passo 1

O enunciado dá uma proposição p e uma proposição q:
  • p: ABCD é um losango.
  • q: ABCD é um paralelogramo.
O que se pede: mostrar que p implica q, isto é, provar que se ABCD é um losango então ABCD é um paralelogramo.
Informações explícitas que temos (diretamente do enunciado):
  • Os vértices do quadrilátero estão nomeados A,B,C,D em ordem (convenção usual).
  • No losango todos os quatro lados são congruentes: AB=BC=CD=DA.

Passo 2

Lembrete das definições e ferramentas que vamos usar (explicadas de forma simples):
  • Definição de losango: quadrilátero com os quatro lados congruentes, ou seja, se ABCD é losango então AB=BC=CD=DA.
  • Definição de paralelogramo: quadrilátero cujos pares de lados opostos são paralelos; isto é, para ABCD ser paralelogramo precisamos provar AB\parallel CD\quad\text{e}\quad BC\parallel AD.
  • Congruência por SSS (lado-lado-lado): se dois triângulos têm três pares de lados correspondentes congruentes, então os triângulos são congruentes e, em particular, os ângulos correspondentes são iguais.
  • Uma consequência geométrica simples: se uma reta corta duas outras e faz ângulos alternos internos iguais com elas, então as duas retas são paralelas. Em símbolos: se, para uma transversal, um ângulo formado com a reta 1 é igual ao ângulo correspondente formado com a reta 2, então as retas são paralelas.
Vou usar essas ideias para provar as duas paralelidades necessárias.

Passo 3

Provar AB\parallel CD.
Considere a diagonal AC. Observe os triângulos \triangle ABC e \triangle CDA.
  • No losango temos AB=CD (opostos dos valores de um mesmo conjunto de quatro iguais).
  • Também BC=DA.
  • E a diagonal AC é comum aos dois triângulos, então AC=AC.
Portanto, pelos três lados:
AB=CD,\qquad BC=DA,\qquad AC=AC,
os triângulos \triangle ABC e \triangle CDA são congruentes por SSS.
Da congruência resulta que o ângulo entre AB e AC em \triangle ABC é igual ao ângulo entre CD e CA em \triangle CDA. Em notação:
\angle BAC = \angle DCA.
Esses dois ângulos são ângulos alternos internos formados pela transversal AC que intercepta as retas AB e CD. Como ângulos alternos internos são iguais, concluímos que
AB\parallel CD.

Passo 4

Provar BC\parallel AD.
Agora considere a outra diagonal BD. Observe os triângulos \triangle ABD e \triangle CDB.
  • Pelo losango temos AB=CD.
  • Temos também AD=BC.
  • A diagonal BD é comum, então BD=BD.
Assim,
AB=CD,\qquad AD=BC,\qquad BD=BD,
logo \triangle ABD e \triangle CDB são congruentes por SSS.
Da congruência segue que o ângulo entre AD e DB em \triangle ABD é igual ao ângulo entre CB e BD em \triangle CDB. Em notação:
\angle ADB = \angle CBD.
Esses são ângulos alternos internos formados pela transversal BD que intercepta as retas AD e BC. Como esses ângulos são iguais, concluímos que
AD\parallel BC.

Passo 5

Concluir a implicação p\Rightarrow q.
Juntando os resultados dos passos anteriores temos que, a partir de ABCD ser losango (isto é, AB=BC=CD=DA), obtivemos
AB\parallel CD\quad\text{e}\quad AD\parallel BC.
Isso é exatamente a definição de paralelogramo. Portanto, mostramos que se ABCD é losango então ABCD é paralelogramo, ou seja, p\Rightarrow q.
Força aí — a ideia central é sempre tentar formar triângulos congruentes com uma diagonal e usar ângulos alternos internos para deduzir paralelismo; é uma técnica que cai bastante em prova.

Resposta

Se ABCD é losango então ABCD é paralelogramo.

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