Exercício 04: Mostre que a proposição p implica a proposição q(p \Rightarrow q) em cada um dos seguintes casos:
p: A B C é um triângulo; q: \mathrm{A} soma dos ângulos internos A, B e C é igual a 180^{\circ}

Passo 1

O enunciado dá duas proposições e pede que se mostre a implicação p \Rightarrow q.
  • Proposição p: A B C é um triângulo.
    Informação implícita: existem três pontos distintos A,B,C ligados por segmentos AB, BC e CA; os ângulos interiores do triângulo são \angle A, \angle B e \angle C, cada um localizado num vértice correspondente.
  • Proposição q: a soma dos ângulos internos A, B e C é igual a 180^\circ; em símbolos, \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ.
O que se pede: mostrar que, assumindo p verdadeira (isto é, assumindo que ABC é um triângulo), segue-se necessariamente q. Em lógica matemática, isto significa assumir p e deduzir q.

Passo 2

Plano de prova (apenas o plano, sem calcular ainda): para provar que os três ângulos internos somam 180^\circ vamos fazer uma construção geométrica simples a partir do triângulo e usar uma propriedade básica de retas paralelas cortadas por uma transversal (a propriedade dos ângulos alternos internos/correspondentes). A ideia clássica:
  • Traçar por A uma reta l paralela à reta BC.
  • Observar os ângulos que aparecem em A formados por l e pelos lados AB e AC.
  • Usar a igualdade entre esses ângulos formados em A e os ângulos \angle B e \angle C (por serem alternos internos ou correspondentes), e então ver que estes três ângulos ficam sobre uma mesma linha reta, cuja soma é 180^\circ.
Antes de executar, explico a propriedade usada: se duas retas são paralelas e uma terceira reta (transversal) as corta, então os ângulos alternos internos são congruentes (iguais em medida). Essa é uma propriedade fundamental das retas paralelas em geometria euclidiana; posso usá-la sem provar aqui, pois é um fato básico que costuma ser aceito ou provado a partir do postulado das paralelas.

Passo 3

Executando a construção com detalhes e notação:
  • Assuma que ABC é um triângulo (ou seja, p é verdadeira). Considere os lados/retas que contêm os lados do triângulo: as retas AB, BC e CA.
  • Desenhe a reta l que passa por A e é paralela à reta BC. Em símbolos: l é tal que l \parallel BC.
Agora observe duas transversais importantes:
  • A reta AB é uma transversal que corta as retas l e BC.
  • A reta AC é outra transversal que corta as retas l e BC.
Usando a propriedade das paralelas cortadas por uma transversal:
  • O ângulo formado entre AB e BC no vértice B (que é exatamente \angle B) é congruente ao ângulo formado entre AB e l no ponto A. Vou chamar este último de \angle B_A. Portanto \angle B = \angle B_A.(Isto porque AB é transversal de l e BC e os ângulos são alternos internos/correspondentes.)
  • De maneira análoga, o ângulo formado entre AC e BC no vértice C (que é \angle C) é congruente ao ângulo formado entre AC e l no ponto A. Vou chamar este de \angle C_A. Assim \angle C = \angle C_A.

Passo 4

Agora identifique os três ângulos ao redor do ponto A na reta l:
  • No ponto A, a reta l é uma linha reta, e as retas AB e AC intersectam essa linha formando três ângulos colineares que, tomados em sequência, formam um ângulo raso (uma linha reta) de medida 180^\circ. Em particular, \angle B_A + \angle A + \angle C_A = 180^\circ,porque esses três ângulos são adjacentes e juntos ocupam uma linha reta (definição de ângulo raso/linha reta = 180^\circ).

Passo 5

Substitua as igualdades das medidas que obtivemos no Passo 3 na equação do Passo 4:
  • Como \angle B = \angle B_A e \angle C = \angle C_A, substituindo dá \angle B + \angle A + \angle C = 180^\circ.
Isto é exatamente a proposição q.

Passo 6

Conclusão lógica: partindo da suposição p (que ABC é um triângulo) e aplicando a construção e as propriedades de retas paralelas, chegamos a q. Logo demonstrou-se que
p \Rightarrow q.
Observação prática e incentivo: este é o argumento clássico que vai cair muito em prova — desenha-se a paralela ao lado oposto através de um vértice, usa-se que ângulos alternos internos/correspondentes são iguais e então soma-se os ângulos ao redor da linha reta para obter 180^\circ. Se fizer essa construção e falar passo a passo na prova, ganha pontos numa boa!

Resposta

Se ABC é um triângulo então \angle A+\angle B+\angle C=180^\circ.

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