Exercício 04: Mostre que a proposição
implica a proposição
em cada um dos seguintes casos:
é um triângulo;
soma dos ângulos internos
e
é igual a
Passo 1
O enunciado dá duas proposições e pede que se mostre a implicação
.
- Proposição
: é um triângulo.
Informação implícita: existem três pontos distintosligados por segmentos , e ; os ângulos interiores do triângulo são , e , cada um localizado num vértice correspondente. - Proposição
: a soma dos ângulos internos e é igual a ; em símbolos,
O que se pede: mostrar que, assumindo
verdadeira (isto é, assumindo que
é um triângulo), segue-se necessariamente
. Em lógica matemática, isto significa assumir
e deduzir
.
Passo 2
Plano de prova (apenas o plano, sem calcular ainda): para provar que os três ângulos internos somam
vamos fazer uma construção geométrica simples a partir do triângulo e usar uma propriedade básica de retas paralelas cortadas por uma transversal (a propriedade dos ângulos alternos internos/correspondentes). A ideia clássica:
- Traçar por
uma reta paralela à reta . - Observar os ângulos que aparecem em
formados por e pelos lados e . - Usar a igualdade entre esses ângulos formados em
e os ângulos e (por serem alternos internos ou correspondentes), e então ver que estes três ângulos ficam sobre uma mesma linha reta, cuja soma é .
Antes de executar, explico a propriedade usada: se duas retas são paralelas e uma terceira reta (transversal) as corta, então os ângulos alternos internos são congruentes (iguais em medida). Essa é uma propriedade fundamental das retas paralelas em geometria euclidiana; posso usá-la sem provar aqui, pois é um fato básico que costuma ser aceito ou provado a partir do postulado das paralelas.
Passo 3
Executando a construção com detalhes e notação:
- Assuma que
é um triângulo (ou seja, é verdadeira). Considere os lados/retas que contêm os lados do triângulo: as retas , e . - Desenhe a reta
que passa por e é paralela à reta . Em símbolos: é tal que .
Agora observe duas transversais importantes:
- A reta
é uma transversal que corta as retas e . - A reta
é outra transversal que corta as retas e .
Usando a propriedade das paralelas cortadas por uma transversal:
- O ângulo formado entre
e no vértice (que é exatamente ) é congruente ao ângulo formado entre e no ponto . Vou chamar este último de . Portanto (Isto porque é transversal de e e os ângulos são alternos internos/correspondentes.) - De maneira análoga, o ângulo formado entre
e no vértice (que é ) é congruente ao ângulo formado entre e no ponto . Vou chamar este de . Assim
Passo 4
Agora identifique os três ângulos ao redor do ponto
na reta
:
- No ponto
, a reta é uma linha reta, e as retas e intersectam essa linha formando três ângulos colineares que, tomados em sequência, formam um ângulo raso (uma linha reta) de medida . Em particular, porque esses três ângulos são adjacentes e juntos ocupam uma linha reta (definição de ângulo raso/linha reta = ).
Passo 5
Substitua as igualdades das medidas que obtivemos no Passo 3 na equação do Passo 4:
- Como
e , substituindo dá
Isto é exatamente a proposição
.
Passo 6
Conclusão lógica: partindo da suposição
(que
é um triângulo) e aplicando a construção e as propriedades de retas paralelas, chegamos a
. Logo demonstrou-se que
Observação prática e incentivo: este é o argumento clássico que vai cair muito em prova — desenha-se a paralela ao lado oposto através de um vértice, usa-se que ângulos alternos internos/correspondentes são iguais e então soma-se os ângulos ao redor da linha reta para obter
. Se fizer essa construção e falar passo a passo na prova, ganha pontos numa boa!
Resposta
Se
é um triângulo então
.