Exercício 05: Mostre que,
Passo 1
O enunciado pede que se mostre a validade do enunciado
Ou seja, a partir de
devemos concluir que
. As informações dadas são apenas as duas proposições atômicas
e
e a fórmula acima. Não há mais dados no enunciado.
Passo 2
Primeiro vou lembrar o que significa a implicação lógica
em termos de verdade (isso é útil para entender por que a afirmação é óbvia). A tabela verdade de
é:
- Se
é verdadeira e é verdadeira, então é verdadeira. - Se
é verdadeira e é falsa, então é falsa. - Se
é falsa e é verdadeira, então é verdadeira. - Se
é falsa e é falsa, então é verdadeira.
Em palavras simples: uma implicação só é falsa quando o antecedente é verdadeiro e o consequente é falso; nos outros casos a implicação é verdadeira.
Passo 3
Usando a tabela-verdade, vamos verificar os casos em que
é verdadeira. Há duas linhas relevantes (porque
pode ser verdadeira ou falsa):
- Caso 1:
Entãoé , que dá . - Caso 2:
Entãoé , que também dá .
Em ambas as situações em que
vale
, o valor de
é
. Isso mostra semanticamente que sempre que
é verdadeira,
também é verdadeira. Logo,
implica semanticamente
.
Passo 4
Agora dou uma prova por dedução natural (procedimento que costuma cair na prova) — é curta e direta e mostra como proceder formalmente durante uma prova:
- Premissa:
. (hipótese) - Suponha temporariamente
. (assunção para introduzir a implicação) - A partir da premissa
(linha 1) obtém‑se também aqui; portanto, sob a suposição podemos derivar . - Pela regra de introdução da implicação (
-intro), como a suposição levou a , podemos concluir , descartando a suposição de . - Assim, a partir da premissa
chegamos a . Formalmente: .
Explicando a regra usada: a regra de introdução da implicação diz que se, ao assumir
, conseguimos deduzir
, então podemos concluir
(e dispensar a suposição de
). Aqui
é
e
é
; como
já estava disponível sem assumir
, a derivação é imediata.
Passo 5
Dicas rápidas para a prova (estou no seu lugar e sei que é ansiedade):
- Se no exame pedirem uma prova formal, use exatamente o esquema acima: coloque
como premissa, assuma e conclua , então aplique -intro. É curtinho e seguro. - Se pedirem justificação sem formalismo, explique com a tabela-verdade: quando
é verdadeira, sempre é verdadeira independentemente de .