Exercício 05: Mostre que,
q \Rightarrow(p \rightarrow q)

Passo 1

O enunciado pede que se mostre a validade do enunciado
q \Rightarrow (p \rightarrow q).
Ou seja, a partir de q devemos concluir que p \rightarrow q. As informações dadas são apenas as duas proposições atômicas p e q e a fórmula acima. Não há mais dados no enunciado.

Passo 2

Primeiro vou lembrar o que significa a implicação lógica \rightarrow em termos de verdade (isso é útil para entender por que a afirmação é óbvia). A tabela verdade de A \rightarrow B é:
  • Se A é verdadeira e B é verdadeira, então A \rightarrow B é verdadeira.
  • Se A é verdadeira e B é falsa, então A \rightarrow B é falsa.
  • Se A é falsa e B é verdadeira, então A \rightarrow B é verdadeira.
  • Se A é falsa e B é falsa, então A \rightarrow B é verdadeira.
Em palavras simples: uma implicação só é falsa quando o antecedente é verdadeiro e o consequente é falso; nos outros casos a implicação é verdadeira.

Passo 3

Usando a tabela-verdade, vamos verificar os casos em que q é verdadeira. Há duas linhas relevantes (porque p pode ser verdadeira ou falsa):
  • Caso 1: \;p=\text{V},\; q=\text{V}.
    Então p \rightarrow q é \text{V} \rightarrow \text{V}, que dá \text{V}.
  • Caso 2: \;p=\text{F},\; q=\text{V}.
    Então p \rightarrow q é \text{F} \rightarrow \text{V}, que também dá \text{V}.
Em ambas as situações em que q vale \text{V}, o valor de p \rightarrow q é \text{V}. Isso mostra semanticamente que sempre que q é verdadeira, p \rightarrow q também é verdadeira. Logo, q implica semanticamente p \rightarrow q.

Passo 4

Agora dou uma prova por dedução natural (procedimento que costuma cair na prova) — é curta e direta e mostra como proceder formalmente durante uma prova:
  1. Premissa: q. (hipótese)
  2. Suponha temporariamente p. (assunção para introduzir a implicação)
  3. A partir da premissa q (linha 1) obtém‑se q também aqui; portanto, sob a suposição p podemos derivar q.
  4. Pela regra de introdução da implicação ( \rightarrow-intro), como a suposição p levou a q, podemos concluir p \rightarrow q, descartando a suposição de p.
  5. Assim, a partir da premissa q chegamos a p \rightarrow q. Formalmente: q \vdash (p \rightarrow q).
Explicando a regra usada: a regra de introdução da implicação diz que se, ao assumir A, conseguimos deduzir B, então podemos concluir A \rightarrow B (e dispensar a suposição de A). Aqui A é p e B é q; como q já estava disponível sem assumir p, a derivação é imediata.

Passo 5

Dicas rápidas para a prova (estou no seu lugar e sei que é ansiedade):
  • Se no exame pedirem uma prova formal, use exatamente o esquema acima: coloque q como premissa, assuma p e conclua q, então aplique \rightarrow-intro. É curtinho e seguro.
  • Se pedirem justificação sem formalismo, explique com a tabela-verdade: quando q é verdadeira, p \rightarrow q sempre é verdadeira independentemente de p.

Resposta

q \Rightarrow (p \rightarrow q)

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