Exercício 04: Sejam A e B eventos de um espaço amostral. Sabe-se que P(A)=0,3 ; P(B)=0,7 e P(A cap B) =0,21. Verifique se as seguintes afirmativas são verdadeiras. Justifique sua resposta.
(a) A e B são mutuamente exclusivos, justifique sua resposta; R: não
(b) A e B são independentes, justifique sua resposta; R: sim
(c) A e A^c são independentes. justifique sua resposta. R: n a ̃ o

Passo 1

O enunciado fornece as probabilidades
P(A)=0,3, P(B)=0,7, P(Acap B)=0,21
e pede para verificar se os pares de eventos são (a) mutuamente exclusivos, (b) independentes e (c) se A e A^c são independentes. Vamos usar as definições de eventos mutuamente exclusivos e independência.

Passo 2

Definição de eventos mutuamente exclusivos: são mutuamente exclusivos se e somente se
P(Acap B)=0
Aqui temos P(Acap B)=0,21neq0. Logo, A e B não são mutuamente exclusivos.

Passo 3

Definição de independência: A e B são independentes se e somente se
P(Acap B)=P(A)cdot P(B)
Calculando o produto das marginais:
P(A)cdot P(B)=0,3times0,7=0,21
Como P(Acap B)=0,21, coincide com P(A),P(B). Logo, A e B são independentes.

Passo 4

Para verificar se A e A^c são independentes, calculamos
P(Acap A^c)=0
pois A e seu complementar não podem ocorrer simultaneamente, e
P(A)cdot P(A^c)=0,3times(1-0,3)=0,3times0,7=0,21
Como 0neq0,21, A e A^c não são independentes.

Resposta

(a) não
(b) sim
(c) não

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