No exercício 05:
considerando que uma irradiação foi realizada a partir da estação 3 para uma árvore, calcule as coordenadas planimétricas (isto é, Xe Y ) da árvore sabendo-se que o azimute calculado foi igual a
e a distância horizontal igual a
.
considerando que uma irradiação foi realizada a partir da estação 3 para uma árvore, calcule as coordenadas planimétricas (isto é, Xe Y ) da árvore sabendo-se que o azimute calculado foi igual a
Passo 1
O que o enunciado pede e o que ele dá:
- Pede as coordenadas planimétricas da árvore, isto é
e . - Informação fornecida: azimute da irradiação a partir da estação 3 igual a
e distância horizontal igual a . - Informação que falta (necessária para dar as coordenadas absolutas): as coordenadas da estação 3, isto é
e . Sem elas não é possível dar e em valores absolutos, apenas em relação à estação 3.
Passo 2
Entender a convenção e a ideia geral da solução (sem calcular ainda):
- Azimute é medido a partir do norte, no sentido horário, até a direção observada.
- Em coordenadas planimétricas cartesianas convencionais usadas em topografia:
aumenta para leste e aumenta para norte. - A estratégia: transformar o azimute e a distância em deslocamentos leste-oeste e norte-sul (chamados de
e ), e depois somar esses deslocamentos às coordenadas da estação 3 para obter as coordenadas da árvore:
- Para azimute medido a partir do norte (sentido horário) valem as fórmulas usuais:
onde
é a distância horizontal e
o azimute em radianos quando usado em funções trigonométricas.
Passo 3
Converter o azimute de graus-minutos-segundos (DMS) para graus decimais:
- Dado
. Primeiro converto minutos e segundos para fração de grau:
- Somando:
Em notação decimal:
Passo 4
Por que e como converter para radianos (detalhe didático):
- As funções trigonométricas nas tabelas e nas calculadoras trabalham com o argumento em radianos ou em graus conforme ajuste, mas em fórmulas matemáticas costuma-se escrever radianos. A conversão é:
- Assim:
(Não preciso escrever aqui o número em radianos para entender o método; mas esse é o passo técnico que uma calculadora faria antes de avaliar
e
.)
Passo 5
Motivação geométrica das fórmulas
e
(aulas rápidas e concretas):
- Imagine um triângulo retângulo formado pela projeção da observação sobre os eixos leste (E) e norte (N). A hipotenusa é a distância
. O ângulo entre a direção norte e a linha observada é o azimute . - A componente leste (que soma em
) é a projeção da hipotenusa na direção leste: . - A componente norte (que soma em
) é a projeção da hipotenusa na direção norte: . - Observação importante: como
está no quadrante sudeste (entre e ), a componente leste ( ) será positiva e a componente norte ( ) será negativa — a fórmula com seno e cosseno já dá esse sinal corretamente porque e .
Passo 6
Calcular
e
do azimute (passo a passo numérico com aproximação):
- Primeiro note que
(mesma magnitude, positivo). - Calculei (usando desenvolvimento por pequena variação em torno de
para explicar onde vem o número) os valores:
- Esses valores satisfazem
, checando a consistência numérica.
Passo 7
Calcular os deslocamentos
e
com as fórmulas e mostrar as contas:
- Distância dada:
. - Usando
:
Detalhe das contas (distribuindo
):
- Usando
:
Detalhe das contas:
o sinal é negativo porque o cosseno é negativo no quadrante.
Passo 8
Como obter as coordenadas
e
da árvore e limitação prática:
- A partir dos deslocamentos calculados, as coordenadas da árvore são:
- Como o enunciado não forneceu
e , não é possível dar um valor absoluto numérico para e . O que podemos fornecer numericamente são os deslocamentos e em relação à estação 3 (que são os valores que se somam às coordenadas da estação).