No exercício 05:
considerando que uma irradiação foi realizada a partir da estação 3 para uma árvore, calcule as coordenadas planimétricas (isto é, Xe Y ) da árvore sabendo-se que o azimute calculado foi igual a 123^{\circ} 46^{\prime} 45^{\prime \prime} e a distância horizontal igual a 105,456 \mathrm{~m}.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele dá:
  • Pede as coordenadas planimétricas da árvore, isto é X_e e Y_e.
  • Informação fornecida: azimute da irradiação a partir da estação 3 igual a 123^\circ 46' 45'' e distância horizontal igual a 105,456\\ \mathrm{m}.
  • Informação que falta (necessária para dar as coordenadas absolutas): as coordenadas da estação 3, isto é X_3 e Y_3. Sem elas não é possível dar X_e e Y_e em valores absolutos, apenas em relação à estação 3.

Passo 2

Entender a convenção e a ideia geral da solução (sem calcular ainda):
  • Azimute é medido a partir do norte, no sentido horário, até a direção observada.
  • Em coordenadas planimétricas cartesianas convencionais usadas em topografia: X aumenta para leste e Y aumenta para norte.
  • A estratégia: transformar o azimute e a distância em deslocamentos leste-oeste e norte-sul (chamados de \Delta X e \Delta Y), e depois somar esses deslocamentos às coordenadas da estação 3 para obter as coordenadas da árvore:
X_e = X_3 + \Delta X,\qquad Y_e = Y_3 + \Delta Y.
  • Para azimute medido a partir do norte (sentido horário) valem as fórmulas usuais:
\Delta X = s\cdot\sin(\mathrm{az}), \qquad \Delta Y = s\cdot\cos(\mathrm{az}),
onde s é a distância horizontal e \mathrm{az} o azimute em radianos quando usado em funções trigonométricas.

Passo 3

Converter o azimute de graus-minutos-segundos (DMS) para graus decimais:
  • Dado \mathrm{az}=123^\circ 46' 45''. Primeiro converto minutos e segundos para fração de grau:
46' = \frac{46}{60}=0,766666\dots\text{ graus}, \qquad 45''=\frac{45}{3600}=0,0125\text{ graus}.
  • Somando:
\mathrm{az} = 123 + 0,766666\dots + 0,0125 = 123,779166\dots^\circ.
Em notação decimal:
\mathrm{az}=123,779166\overline{6}^\circ.

Passo 4

Por que e como converter para radianos (detalhe didático):
  • As funções trigonométricas nas tabelas e nas calculadoras trabalham com o argumento em radianos ou em graus conforme ajuste, mas em fórmulas matemáticas costuma-se escrever radianos. A conversão é:
\text{radianos} = \mathrm{az}\cdot\frac{\pi}{180}.
  • Assim:
\mathrm{az}_{\mathrm{rad}} = 123,779166\overline{6}\cdot\frac{\pi}{180}.
(Não preciso escrever aqui o número em radianos para entender o método; mas esse é o passo técnico que uma calculadora faria antes de avaliar \sin e \cos.)

Passo 5

Motivação geométrica das fórmulas \Delta X e \Delta Y (aulas rápidas e concretas):
  • Imagine um triângulo retângulo formado pela projeção da observação sobre os eixos leste (E) e norte (N). A hipotenusa é a distância s. O ângulo entre a direção norte e a linha observada é o azimute \mathrm{az}.
  • A componente leste (que soma em X) é a projeção da hipotenusa na direção leste: \Delta X = s\sin(\mathrm{az}).
  • A componente norte (que soma em Y) é a projeção da hipotenusa na direção norte: \Delta Y = s\cos(\mathrm{az}).
  • Observação importante: como \mathrm{az}=123,779^\circ está no quadrante sudeste (entre 90^\circ e 180^\circ), a componente leste ( \Delta X) será positiva e a componente norte ( \Delta Y) será negativa — a fórmula com seno e cosseno já dá esse sinal corretamente porque \cos(123,78^\circ)<0 e \sin(123,78^\circ)>0.

Passo 6

Calcular \sin e \cos do azimute (passo a passo numérico com aproximação):
  • Primeiro note que \sin(123,779166\overline{6}^\circ)=\sin(180^\circ-123,779166\overline{6}^\circ)=\sin(56,220833\overline{3}^\circ) (mesma magnitude, positivo).
  • Calculei (usando desenvolvimento por pequena variação em torno de 56^\circ para explicar onde vem o número) os valores:
\sin(123,779166\overline{6}^\circ)\approx 0,8311868016, \qquad \cos(123,779166\overline{6}^\circ)\approx -0,5559939396.
  • Esses valores satisfazem \sin^2+\cos^2\approx 1, checando a consistência numérica.

Passo 7

Calcular os deslocamentos \Delta X e \Delta Y com as fórmulas e mostrar as contas:
  • Distância dada: s=105,456\\ \mathrm{m}.
  • Usando \Delta X = s\sin(\mathrm{az}):
\Delta X = 105,456\cdot 0,8311868016 \approx 87,65363535\\ \mathrm{m}.
Detalhe das contas (distribuindo 105,456=105+0,456):
105,456\cdot 0,8311868016 =105\cdot 0,8311868016 + 0,456\cdot 0,8311868016 \approx 87,274614168 + 0,3790211815 \approx 87,6536353495.
  • Usando \Delta Y = s\cos(\mathrm{az}):
\Delta Y = 105,456\cdot (-0,5559939396) \approx -58,63289694\\ \mathrm{m}.
Detalhe das contas:
105,456\cdot 0,5559939396 \approx 58,6328969386,
o sinal é negativo porque o cosseno é negativo no quadrante.

Passo 8

Como obter as coordenadas X_e e Y_e da árvore e limitação prática:
  • A partir dos deslocamentos calculados, as coordenadas da árvore são:
X_e = X_3 + \Delta X,\qquad Y_e = Y_3 + \Delta Y.
  • Como o enunciado não forneceu X_3 e Y_3, não é possível dar um valor absoluto numérico para X_e e Y_e. O que podemos fornecer numericamente são os deslocamentos \Delta X e \Delta Y em relação à estação 3 (que são os valores que se somam às coordenadas da estação).

Resposta

X_e = X_3 + 87,65363535\\ \mathrm{m}
Y_e = Y_3 - 58,63289694\\ \mathrm{m}

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