e pede para calcular as derivadas parciais \dfrac{\partial h}{\partial u}(u,v) e \dfrac{\partial h}{\partial v}(u,v), onde h(u,v)=f\big(x(u,v),y(u,v)\big).
Informações relevantes que temos:
h(u,v)=f\big(x(u,v),y(u,v)\big).
Queremos as expressões explícitas de \dfrac{\partial h}{\partial u} e \dfrac{\partial h}{\partial v} em termos de u e v.
Passo 2
Regra da Cadeia para função composta h(u,v)=f\big(x(u,v),y(u,v)\big):\frac{\partial h}{\partial u}(u,v)=\frac{\partial f}{\partial x}(x(u,v),y(u,v))\cdot\frac{\partial x}{\partial u}(u,v)+\frac{\partial f}{\partial y}(x(u,v),y(u,v))\cdot\frac{\partial y}{\partial u}(u,v),
Explicando a fórmula: \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y} são as derivadas parciais de f avaliadas nas coordenadas (x(u,v),y(u,v)). Depois multiplicamos pelas derivadas parciais de x(u,v) e y(u,v) em relação a u e v. Isso é exatamente a ideia da regra da cadeia em várias variáveis.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de f(x,y)=\big(y+x^{2}\big)^{3}e^{y}.
Tratamos f como produto de g(x,y)=\big(y+x^{2}\big)^{3} e e^{y}. Para \dfrac{\partial f}{\partial x} tratamos e^{y} como constante (pois diferenciamos em relação a x):
Usamos a regra da cadeia na parte \big(y+x^{2}\big)^{3}: derivada é 3\big(y+x^{2}\big)^{2}\cdot\frac{\partial}{\partial x}(y+x^{2}). Como \frac{\partial}{\partial x}(y+x^{2})=2x, obtemos
Agora aplicamos a Regra da Cadeia e substituímos os valores. Primeiro observação útil: e^{y(u,v)}=e^{\ln(uv)}=uv. Isso simplifica bastante as expressões.
Usando \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y} obtidas e as derivadas de x,y: