Questão 3(\mathbf{2 , 0}) : Considere a função h(u, v)=f(x(u, v), y(u, v)), em que
f(x, y)=\left(y+x^{2}\right)^{3} e^{y}, \quad x(u, v)=u \cos ^{2}(v), \quad \text { e } \quad y(u, v)=\ln (u v) .
Utilize a Regra da Cadeia para calcular \frac{\partial h}{\partial u}(u, v) e \frac{\partial h}{\partial v}(u, v)

Passo 1

O enunciado dá as funções
f(x,y)=\left(y+x^{2}\right)^{3}e^{y},\quad x(u,v)=u\cos^{2}v,\quad y(u,v)=\ln(uv)
e pede para calcular as derivadas parciais \dfrac{\partial h}{\partial u}(u,v) e \dfrac{\partial h}{\partial v}(u,v), onde h(u,v)=f\big(x(u,v),y(u,v)\big).
Informações relevantes que temos:
h(u,v)=f\big(x(u,v),y(u,v)\big).
Queremos as expressões explícitas de \dfrac{\partial h}{\partial u} e \dfrac{\partial h}{\partial v} em termos de u e v.

Passo 2

Regra da Cadeia para função composta h(u,v)=f\big(x(u,v),y(u,v)\big): \frac{\partial h}{\partial u}(u,v)=\frac{\partial f}{\partial x}(x(u,v),y(u,v))\cdot\frac{\partial x}{\partial u}(u,v)+\frac{\partial f}{\partial y}(x(u,v),y(u,v))\cdot\frac{\partial y}{\partial u}(u,v),
\frac{\partial h}{\partial v}(u,v)=\frac{\partial f}{\partial x}(x(u,v),y(u,v))\cdot\frac{\partial x}{\partial v}(u,v)+\frac{\partial f}{\partial y}(x(u,v),y(u,v))\cdot\frac{\partial y}{\partial v}(u,v).
Explicando a fórmula: \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y} são as derivadas parciais de f avaliadas nas coordenadas (x(u,v),y(u,v)). Depois multiplicamos pelas derivadas parciais de x(u,v) e y(u,v) em relação a u e v. Isso é exatamente a ideia da regra da cadeia em várias variáveis.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f(x,y)=\big(y+x^{2}\big)^{3}e^{y}.
Tratamos f como produto de g(x,y)=\big(y+x^{2}\big)^{3} e e^{y}. Para \dfrac{\partial f}{\partial x} tratamos e^{y} como constante (pois diferenciamos em relação a x):
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\Big(\big(y+x^{2}\big)^{3}\Big)\,e^{y}.
Usamos a regra da cadeia na parte \big(y+x^{2}\big)^{3}: derivada é 3\big(y+x^{2}\big)^{2}\cdot\frac{\partial}{\partial x}(y+x^{2}). Como \frac{\partial}{\partial x}(y+x^{2})=2x, obtemos
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=3\big(y+x^{2}\big)^{2}\cdot 2x\;e^{y}=6x\big(y+x^{2}\big)^{2}e^{y}.
Agora \dfrac{\partial f}{\partial y}. Aqui y aparece em dois lugares: dentro de \big(y+x^{2}\big)^{3} e em e^{y}. Aplicamos a regra do produto:
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\Big(\big(y+x^{2}\big)^{3}\Big)\,e^{y}+\big(y+x^{2}\big)^{3}\frac{\partial}{\partial y}\big(e^{y}\big).
A primeira parcela é 3\big(y+x^{2}\big)^{2}\cdot 1\cdot e^{y}. A segunda é \big(y+x^{2}\big)^{3}e^{y}. Somando:
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\Big(3\big(y+x^{2}\big)^{2}+\big(y+x^{2}\big)^{3}\Big)e^{y}.
Para simplificar, fatoramos \big(y+x^{2}\big)^{2}e^{y}:
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\big(y+x^{2}\big)^{2}e^{y}\big(3+(y+x^{2})\big)=\big(y+x^{2}\big)^{2}e^{y}\big(y+x^{2}+3\big).

Passo 4

Calcular as derivadas parciais de x(u,v)=u\cos^{2}v e y(u,v)=\ln(uv).
Derivadas de x:
\frac{\partial x}{\partial u}(u,v)=\cos^{2}v,
\frac{\partial x}{\partial v}(u,v)=u\cdot\frac{d}{dv}\big(\cos^{2}v\big)=u\cdot 2\cos v\cdot(-\sin v)=-2u\cos v\sin v=-u\sin(2v).
Derivadas de y (usando \ln(uv)=\ln u+\ln v ou regra da cadeia):
\frac{\partial y}{\partial u}(u,v)=\frac{1}{u},\qquad \frac{\partial y}{\partial v}(u,v)=\frac{1}{v}.

Passo 5

Agora aplicamos a Regra da Cadeia e substituímos os valores. Primeiro observação útil: e^{y(u,v)}=e^{\ln(uv)}=uv. Isso simplifica bastante as expressões.
Usando \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y} obtidas e as derivadas de x,y:
Para \dfrac{\partial h}{\partial u}:
\frac{\partial h}{\partial u}= \underbrace{6x\big(y+x^{2}\big)^{2}e^{y}}_{\frac{\partial f}{\partial x}}\cdot\cos^{2}v +\underbrace{\big(y+x^{2}\big)^{2}e^{y}\big(y+x^{2}+3\big)}_{\frac{\partial f}{\partial y}}\cdot\frac{1}{u},
avaliando em x=x(u,v)=u\cos^{2}v e y=y(u,v)=\ln(uv). Substituindo e^{y}=uv e x=u\cos^{2}v dá:
\frac{\partial h}{\partial u}=6\big(u\cos^{2}v\big)\big(\ln(uv)+u^{2}\cos^{4}v\big)^{2}(uv)\cos^{2}v + \big(\ln(uv)+u^{2}\cos^{4}v\big)^{2}(uv)\big(\ln(uv)+u^{2}\cos^{4}v+3\big)\frac{1}{u}.
Simplificando os fatores (em especial cancelando um u na segunda parcela):
\frac{\partial h}{\partial u}=6u^{2}v\cos^{4}v\big(\ln(uv)+u^{2}\cos^{4}v\big)^{2} +v\big(\ln(uv)+u^{2}\cos^{4}v\big)^{2}\big(\ln(uv)+u^{2}\cos^{4}v+3\big).
Fatorando v\big(\ln(uv)+u^{2}\cos^{4}v\big)^{2} fica uma forma compacta:
\frac{\partial h}{\partial u}=v\big(\ln(uv)+u^{2}\cos^{4}v\big)^{2}\Big(\ln(uv)+7u^{2}\cos^{4}v+3\Big).
(Nota: o termo dentro dos parênteses vem da soma 6u^{2}\cos^{4}v + (\ln(uv)+u^{2}\cos^{4}v+3), que é \ln(uv)+7u^{2}\cos^{4}v+3.)

Passo 6

Agora \dfrac{\partial h}{\partial v}:
Usando a fórmula da Regra da Cadeia:
\frac{\partial h}{\partial v}=6x\big(y+x^{2}\big)^{2}e^{y}\cdot\frac{\partial x}{\partial v} +\big(y+x^{2}\big)^{2}e^{y}\big(y+x^{2}+3\big)\cdot\frac{\partial y}{\partial v}.
Substituindo \frac{\partial x}{\partial v}=-2u\cos v\sin v, \frac{\partial y}{\partial v}=\frac{1}{v}, x=u\cos^{2}v, y=\ln(uv) e e^{y}=uv:
\frac{\partial h}{\partial v}=6\big(u\cos^{2}v\big)\big(\ln(uv)+u^{2}\cos^{4}v\big)^{2}(uv)\cdot\big(-2u\cos v\sin v\big)
\qquad +\big(\ln(uv)+u^{2}\cos^{4}v\big)^{2}(uv)\big(\ln(uv)+u^{2}\cos^{4}v+3\big)\cdot\frac{1}{v}.
Simplificando fatores:
\frac{\partial h}{\partial v}=-12u^{3}v\cos^{3}v\sin v\big(\ln(uv)+u^{2}\cos^{4}v\big)^{2} +u\big(\ln(uv)+u^{2}\cos^{4}v\big)^{2}\big(\ln(uv)+u^{2}\cos^{4}v+3\big).
Fatorando \big(\ln(uv)+u^{2}\cos^{4}v\big)^{2} e u se quiser:
\frac{\partial h}{\partial v}= \big(\ln(uv)+u^{2}\cos^{4}v\big)^{2}\Big(-12u^{3}v\cos^{3}v\sin v +u\big(\ln(uv)+u^{2}\cos^{4}v+3\big)\Big).

Resposta

\frac{\partial h}{\partial u}(u,v)=v\big(\ln(uv)+u^{2}\cos^{4}v\big)^{2}\Big(\ln(uv)+7u^{2}\cos^{4}v+3\Big)
\frac{\partial h}{\partial v}(u,v)=\big(\ln(uv)+u^{2}\cos^{4}v\big)^{2}\Big(-12u^{3}v\cos^{3}v\sin v+u\big(\ln(uv)+u^{2}\cos^{4}v+3\big)\Big)

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