Tendo-se os azimutes e as distâncias entre os alinhamentos de uma poligonal, calcule o erro linear e, estando dentro da tolerância de 1:12000, corrija-o. Sabendo-se que as coordenadas planimétricas da Estação 1 são X=200,000 \mathrm{~m} e Y=200,000 \mathrm{~m}, quais são as coordenadas das estações 2 e 3?
\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|l|l|}
\hline Estação & Vante & Azimute Corrigido & Distância Horizontal (m) & \Delta \mathrm{X}(\mathrm{m})- Abscissas Calculadas & \Delta \mathrm{Y}(\mathrm{m})- Ordenadas Calculadas & \Delta \mathrm{X}(\mathrm{m})- Abscissas Corrigidas & \Delta \mathrm{Y}(\mathrm{m})- Ordenadas Corrigidas \
\hline 1 & 2 & 225^{\circ} 00^{\prime} 00^{\prime \prime} & 100,00 & -70,711 & -70,711 & & \
\hline 2 & 3 & 105^{\circ} 00^{\prime} 01^{\prime \prime} & 99,995 & 96,588 & -25,881 & & \
\hline 3 & 1 & 344^{\circ} 59^{\prime} 59^{\prime \prime} & 100,002 & -25,883 & 96,594 & & \
\hline

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Calcular o erro linear (fechamento planimétrico) da poligonal dada.
  • Verificar se esse erro está dentro da tolerância de 1:12000.
  • Caso esteja dentro da tolerância, corrigir o fechamento proporcionalmente às distâncias (método de Bowditch / distribuição proporcional ao comprimento) e obter as coordenadas planimétricas corrigidas das Estações 2 e 3 sabendo que a Estação 1 tem X=200000 m e Y=200000 m.
Informações dadas (peguei os dados da tabela fornecida no enunciado):
  • De 1 para 2: azimute corrigido 225^\circ00'00'', distância 100,00 m, \Delta X_{\text{calc}}=-70,711 m, \Delta Y_{\text{calc}}=-70,711 m.
  • De 2 para 3: azimute corrigido 105^\circ00'01'', distância 99,995 m, \Delta X_{\text{calc}}=96,588 m, \Delta Y_{\text{calc}}=-25,881 m.
  • De 3 para 1: azimute corrigido 344^\circ59'59'', distância 100,002 m, \Delta X_{\text{calc}}=-25,883 m, \Delta Y_{\text{calc}}=96,594 m.
Observação: os \Delta X e \Delta Y acima são os valores calculados diretamente a partir dos azimutes e distâncias (estavam na tabela).

Passo 2

Calcular o fechamento planimétrico (erro linear) somando os \Delta X_{\text{calc}} e \Delta Y_{\text{calc}}:
\sum \Delta X_{\text{calc}} = -70,711 + 96,588 + (-25,883) = -0,006\\ \text{m}
\sum \Delta Y_{\text{calc}} = -70,711 + (-25,881) + 96,594 = 0,002\\ \text{m}
O erro linear (misclosure linear) L é a norma do vetor de fechamento:
L = \sqrt{\bigl(\sum \Delta X_{\text{calc}}\bigr)^2 + \bigl(\sum \Delta Y_{\text{calc}}\bigr)^2}
Substituindo os valores:
L = \sqrt{(-0,006)^2 + (0,002)^2} = \sqrt{0,000036 + 0,000004} = \sqrt{0,000040} \approx 0,0063249\\ \text{m}
Arredondando convenientemente: L \approx 0,006325\\ \text{m}.

Passo 3

Calcular a tolerância permitida para a poligonal usando a relação 1:12000. A tolerância absoluta aceitável é o perímetro total dividido por 12000.
Perímetro (soma das distâncias, peguei os comprimentos da tabela):
S = 100,00 + 99,995 + 100,002 = 299,997\\ \text{m}
Tolerância máxima permitida:
L_{\max} = \frac{S}{12000} = \frac{299,997}{12000} \approx 0,0250\\ \text{m}
Comparação:
L \approx 0,006325\\ \text{m} \le L_{\max} \approx 0,0250\\ \text{m}
Conclusão: o fechamento está dentro da tolerância, logo procede-se à correção.

Passo 4

Método de correção (explicação didática):
  • Usamos o método de Bowditch (distribuição proporcional ao comprimento): a ideia é repartir o erro total de fechamento em X e em Y entre as linhas proporcionalmente ao comprimento de cada linha. Assim as correções em \Delta X e \Delta Y para a i-ésima linha são:
\delta X_i = -\bigl(\sum \Delta X_{\text{calc}}\bigr)\cdot\frac{L_i}{S} \qquad\text{e}\qquad \delta Y_i = -\bigl(\sum \Delta Y_{\text{calc}}\bigr)\cdot\frac{L_i}{S}
onde:
  • \sum \Delta X_{\text{calc}} é o somatório dos \Delta X não corrigidos (o fechamento em X),
  • \sum \Delta Y_{\text{calc}} é o somatório dos \Delta Y não corrigidos (o fechamento em Y),
  • L_i é o comprimento da i-ésima linha,
  • S é o perímetro total (soma dos L_i).
  • O sinal negativo garante que, adicionando \delta X_i a \Delta X_{\text{calc},i}, o somatório das deltas corrigidas zere o fechamento.

Passo 5

Calcular as correções para cada linha (uso direto dos números dados):
Dados:
\sum \Delta X_{\text{calc}} = -0,006,\qquad \sum \Delta Y_{\text{calc}} = 0,002,\qquad S=299,997
Linha 1: L_1=100,00 m
Linha 2: L_2=99,995 m
Linha 3: L_3=100,002 m
Correções em X:
\delta X_1 = -(-0,006)\cdot\frac{100,00}{299,997} \approx 0,006\cdot\frac{100,00}{299,997} \approx 0,00200002\\ \text{m}
\delta X_2 = -(-0,006)\cdot\frac{99,995}{299,997} \approx 0,006\cdot\frac{99,995}{299,997} \approx 0,00199992\\ \text{m}
\delta X_3 = -(-0,006)\cdot\frac{100,002}{299,997} \approx 0,006\cdot\frac{100,002}{299,997} \approx 0,00200006\\ \text{m}
Correções em Y:
\delta Y_1 = -(0,002)\cdot\frac{100,00}{299,997} \approx -0,002\cdot\frac{100,00}{299,997} \approx -0,00066667\\ \text{m}
\delta Y_2 = -(0,002)\cdot\frac{99,995}{299,997} \approx -0,00066664\\ \text{m}
\delta Y_3 = -(0,002)\cdot\frac{100,002}{299,997} \approx -0,00066668\\ \text{m}
Verificação rápida: \delta X_1+\delta X_2+\delta X_3 \approx 0,006 e \delta Y_1+\delta Y_2+\delta Y_3 \approx -0,002, portanto ao somar com os fechamentos originais anulam o fechamento.

Passo 6

Calcular as deltas corrigidas (soma das deltas calculadas com as correções):
Linha 1 (1→2):
\Delta X_{1,\text{corr}} = -70,711 + 0,00200002 \approx -70,70899998 \approx -70,709\\ \text{m}
\Delta Y_{1,\text{corr}} = -70,711 - 0,00066667 \approx -70,71166667 \approx -70,712\\ \text{m}
Linha 2 (2→3):
\Delta X_{2,\text{corr}} = 96,588 + 0,00199992 \approx 96,58999992 \approx 96,590\\ \text{m}
\Delta Y_{2,\text{corr}} = -25,881 - 0,00066664 \approx -25,88166664 \approx -25,882\\ \text{m}
Linha 3 (3→1):
\Delta X_{3,\text{corr}} = -25,883 + 0,00200006 \approx -25,88099994 \approx -25,881\\ \text{m}
\Delta Y_{3,\text{corr}} = 96,594 - 0,00066668 \approx 96,59333332 \approx 96,593\\ \text{m}
Observação: arredondei as deltas corrigidas para três casas decimais, compatível com a precisão dos dados fornecidos.

Passo 7

Calcular as coordenadas corrigidas das Estações 2 e 3:
  • Estação 1: \;X_1=200000\\ \text{m},\; Y_1=200000\\ \text{m} (valor dado).
  • Coordenadas da Estação 2 obtidas adicionando as deltas corrigidas da linha 1\to2:
X_2 = X_1 + \Delta X_{1,\text{corr}} = 200000 + (-70,709) = 199929,291\\ \text{m}
Y_2 = Y_1 + \Delta Y_{1,\text{corr}} = 200000 + (-70,712) = 199929,288\\ \text{m}
  • Coordenadas da Estação 3 obtidas a partir da Estação 2 somando as deltas corrigidas da linha 2\to3:
X_3 = X_2 + \Delta X_{2,\text{corr}} = 199929,291 + 96,590 = 200025,881\\ \text{m}
Y_3 = Y_2 + \Delta Y_{2,\text{corr}} = 199929,288 + (-25,882) = 199903,406\\ \text{m}
(Se preferir, pode verificar que somando as deltas corrigidas de todas as linhas volta-se exatamente a X_1,Y_1 dentro do arredondamento.)

Passo 8

Verificação final (fechamento com deltas corrigidas):
\sum \Delta X_{\text{corr}} = -70,709 + 96,590 + (-25,881) = 0,000\\ \text{(aprox.)}
\sum \Delta Y_{\text{corr}} = -70,712 + (-25,882) + 96,593 = 0,000\\ \text{(aprox.)}
Fechamento anulado dentro do arredondamento; correção bem-sucedida.

Resposta

X_2 = 199929,291\\ \text{m},\\ Y_2 = 199929,288\\ \text{m}
X_3 = 200025,881\\ \text{m},\\ Y_3 = 199903,406\\ \text{m}

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