Tendo-se os azimutes e as distâncias entre os alinhamentos de uma poligonal, calcule o erro linear e, estando dentro da tolerância de 1:12000, corrija-o. Sabendo-se que as coordenadas planimétricas da Estação 1 são
e
, quais são as coordenadas das estações 2 e 3?
\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|l|l|}
\hline Estação & Vante & Azimute Corrigido & Distância Horizontal (m) &
Abscissas Calculadas &
Ordenadas Calculadas &
Abscissas Corrigidas &
Ordenadas Corrigidas \
\hline 1 & 2 &
& 100,00 & -70,711 & -70,711 & & \
\hline 2 & 3 &
& 99,995 & 96,588 & -25,881 & & \
\hline 3 & 1 &
& 100,002 & -25,883 & 96,594 & & \
\hline
\hline Estação & Vante & Azimute Corrigido & Distância Horizontal (m) &
\hline 1 & 2 &
\hline 2 & 3 &
\hline 3 & 1 &
\hline
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Calcular o erro linear (fechamento planimétrico) da poligonal dada.
- Verificar se esse erro está dentro da tolerância de
. - Caso esteja dentro da tolerância, corrigir o fechamento proporcionalmente às distâncias (método de Bowditch / distribuição proporcional ao comprimento) e obter as coordenadas planimétricas corrigidas das Estações 2 e 3 sabendo que a Estação 1 tem
m e m.
Informações dadas (peguei os dados da tabela fornecida no enunciado):
- De
para : azimute corrigido , distância m, m, m. - De
para : azimute corrigido , distância m, m, m. - De
para : azimute corrigido , distância m, m, m.
Observação: os
e
acima são os valores calculados diretamente a partir dos azimutes e distâncias (estavam na tabela).
Passo 2
Calcular o fechamento planimétrico (erro linear) somando os
e
:
O erro linear (misclosure linear)
é a norma do vetor de fechamento:
Substituindo os valores:
Arredondando convenientemente:
.
Passo 3
Calcular a tolerância permitida para a poligonal usando a relação
. A tolerância absoluta aceitável é o perímetro total dividido por
.
Perímetro (soma das distâncias, peguei os comprimentos da tabela):
Tolerância máxima permitida:
Comparação:
Conclusão: o fechamento está dentro da tolerância, logo procede-se à correção.
Passo 4
Método de correção (explicação didática):
- Usamos o método de Bowditch (distribuição proporcional ao comprimento): a ideia é repartir o erro total de fechamento em
e em entre as linhas proporcionalmente ao comprimento de cada linha. Assim as correções em e para a i-ésima linha são:
onde:
-
é o somatório dos não corrigidos (o fechamento em ), -
é o somatório dos não corrigidos (o fechamento em ), -
é o comprimento da i-ésima linha, -
é o perímetro total (soma dos ). - O sinal negativo garante que, adicionando
a , o somatório das deltas corrigidas zere o fechamento.
Passo 5
Calcular as correções para cada linha (uso direto dos números dados):
Dados:
Linha 1:
m
Linha 2: m
Linha 3: m
Linha 2:
Linha 3:
Correções em
:
Correções em
:
Verificação rápida:
e
, portanto ao somar com os fechamentos originais anulam o fechamento.
Passo 6
Calcular as deltas corrigidas (soma das deltas calculadas com as correções):
Linha 1 (1→2):
Linha 2 (2→3):
Linha 3 (3→1):
Observação: arredondei as deltas corrigidas para três casas decimais, compatível com a precisão dos dados fornecidos.
Passo 7
Calcular as coordenadas corrigidas das Estações 2 e 3:
- Estação 1:
(valor dado). - Coordenadas da Estação 2 obtidas adicionando as deltas corrigidas da linha
:
- Coordenadas da Estação 3 obtidas a partir da Estação 2 somando as deltas corrigidas da linha
:
(Se preferir, pode verificar que somando as deltas corrigidas de todas as linhas volta-se exatamente a
dentro do arredondamento.)
Passo 8
Verificação final (fechamento com deltas corrigidas):
Fechamento anulado dentro do arredondamento; correção bem-sucedida.