Tendo-se os azimutes e as distâncias entre os alinhamentos de uma poligonal, calcule as ordenadas e abscissas dos alinhamentos.
\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|}
\hline Estação & Vante & Azimute Corrigido & Distância Horizontal (m) &
Abscissas &
Ordenadas \
\hline 0 & 1 &
& 136,000 & & \
\hline 1 & 2 &
& 100,500 & & \
\hline 2 & 3 &
& 72,500 & & \
\hline 3 & 0 &
& 85,000 & & \
\hline
\hline Estação & Vante & Azimute Corrigido & Distância Horizontal (m) &
\hline 0 & 1 &
\hline 1 & 2 &
\hline 2 & 3 &
\hline 3 & 0 &
\hline
Passo 1
O problema pede: calcular as ordenadas e abscissas (ou seja, as variações
— abscissas — e
— ordenadas) de cada alinhamento de uma poligonal, conhecendo-se os azimutes corrigidos e as distâncias horizontais entre as estações. Os dados fornecidos são:
(Observação: os valores de distância usam vírgula como separador decimal: por exemplo,
significa
metros.)
Passo 2
Definição e fórmula a usar (explicação didática): em topografia, o azimute é medido a partir do norte verdadeiro, no sentido horário. Adotamos o sistema de coordenadas cartesianas com
para leste (abscissa) e
para norte (ordenada). Para um deslocamento de comprimento
e azimute
(em graus), as componentes são:
Por que isso? Quando
(norte),
e
, então
e
(movemos só para norte). Quando
(leste),
e
, então
e
(movemos só para leste). Assim, as fórmulas acima são coerentes com a convenção.
Antes de aplicar, precisamos transformar azimutes em graus decimais quando houver minutos:
.
Também lembra: todos os valores trigonométricos que usaremos (seno e cosseno) são os do ângulo em graus; para cálculo manual podemos usar identidades (por exemplo,
,
) para simplificar alguns cálculos.
Passo 3
Trecho
: azimute
e distância
.
Primeiro, azimute em graus decimais:
Observação útil:
. Logo
Usando valores trigonométricos (valores suficientes para cálculo manual):
Agora aplicamos as fórmulas:
(Para fazer à mão: multiplique
por
e por
separadamente; eu mostrei os fatores com precisão suficiente.)
Passo 4
Trecho
: azimute
e distância
.
Converta minutos para graus decimais:
Note que
. Assim
Calcule (ângulo pequeno, podemos usar aproximações séries ou tabela):
Agora as componentes:
Passo 5
Trecho
: azimute
e distância
.
Aqui não há minutos;
é exato. Conhecemos senos e cossenos exatos:
Logo
Passo 6
Trecho
: azimute
e distância
.
Azimute
tem seno e cosseno iguais:
Portanto
Passo 7
Checagem de fechamento (importante na prova): some todas as
e todas as
. Em princípio a soma deve ser zero (fechamento da poligonal). Usando os valores calculados:
Soma das
:
Soma das
:
Há um pequeno desajuste (fechamento não exatamente zero) — isso pode ser devido ao arredondamento dos valores trigonométricos usados manualmente ou a pequenas inconsistências nos dados originais. Em prova, faça a checagem e, se solicitado, distribua o erro de fechamento (método de compensação) proporcionalmente às distâncias; aqui o objetivo era calcular as componentes, então apresentamos os valores diretos.
Resposta
Estação
:
Estação :
Estação :
Estação :
Estação
Estação
Estação