Tendo-se os azimutes e as distâncias entre os alinhamentos de uma poligonal, calcule as ordenadas e abscissas dos alinhamentos.
\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|}
\hline Estação & Vante & Azimute Corrigido & Distância Horizontal (m) & \Delta \mathrm{X}(\mathrm{m})- Abscissas & \Delta \mathrm{Y}(\mathrm{m})- Ordenadas \
\hline 0 & 1 & 287^{\circ} 00^{\prime} & 136,000 & & \
\hline 1 & 2 & 181^{\circ} 27^{\prime} & 100,500 & & \
\hline 2 & 3 & 90^{\circ} 00^{\prime} & 72,500 & & \
\hline 3 & 0 & 45^{\circ} 00^{\prime} & 85,000 & & \
\hline

Passo 1

O problema pede: calcular as ordenadas e abscissas (ou seja, as variações \Delta X — abscissas — e \Delta Y — ordenadas) de cada alinhamento de uma poligonal, conhecendo-se os azimutes corrigidos e as distâncias horizontais entre as estações. Os dados fornecidos são:
\begin{array}{lcl} \text{Trecho }0\to1: & \text{Azimute} = 287^\circ 00' & \text{Distância} = 136{,}000\\ \text{m} \\\ \text{Trecho }1\to2: & \text{Azimute} = 181^\circ 27' & \text{Distância} = 100{,}500\\ \text{m} \\\ \text{Trecho }2\to3: & \text{Azimute} = 90^\circ 00' & \text{Distância} = 72{,}500\\ \text{m} \\\ \text{Trecho }3\to0: & \text{Azimute} = 45^\circ 00' & \text{Distância} = 85{,}000\\ \text{m} \end{array}ââââ
(Observação: os valores de distância usam vírgula como separador decimal: por exemplo, 136{,}000 significa 136{,}000 metros.)

Passo 2

Definição e fórmula a usar (explicação didática): em topografia, o azimute é medido a partir do norte verdadeiro, no sentido horário. Adotamos o sistema de coordenadas cartesianas com X para leste (abscissa) e Y para norte (ordenada). Para um deslocamento de comprimento s e azimute A (em graus), as componentes são:
\Delta X = s \cdot \sin(A)
\Delta Y = s \cdot \cos(A)
Por que isso? Quando A=0^\circ (norte), \sin(0^\circ)=0 e \cos(0^\circ)=1, então \Delta X=0 e \Delta Y=s (movemos só para norte). Quando A=90^\circ (leste), \sin(90^\circ)=1 e \cos(90^\circ)=0, então \Delta X=s e \Delta Y=0 (movemos só para leste). Assim, as fórmulas acima são coerentes com a convenção.
Antes de aplicar, precisamos transformar azimutes em graus decimais quando houver minutos: \text{graus decimais} = \text{graus} + \dfrac{\text{minutos}}{60}.
Também lembra: todos os valores trigonométricos que usaremos (seno e cosseno) são os do ângulo em graus; para cálculo manual podemos usar identidades (por exemplo, \sin(360^\circ-\theta)=-\sin\theta, \cos(360^\circ-\theta)=\cos\theta) para simplificar alguns cálculos.

Passo 3

Trecho 0\to1: azimute \;287^\circ 00' e distância \;136{,}000\\ \text{m}.
Primeiro, azimute em graus decimais:
287^\circ 00' = 287{,}000^\circ.
Observação útil: 287^\circ = 360^\circ - 73^\circ. Logo
\sin(287^\circ) = -\sin(73^\circ),\qquad \cos(287^\circ)=\cos(73^\circ).
Usando valores trigonométricos (valores suficientes para cálculo manual):
\sin(73^\circ)\approx 0{,}9563047559630354,\qquad \cos(73^\circ)\approx 0{,}2923717047227368.
Agora aplicamos as fórmulas:
\Delta X_{0\to1}=136{,}000\cdot\sin(287^\circ)=136{,}000\cdot\bigl(-\sin(73^\circ)\bigr)
=136{,}000\cdot(-0{,}9563047559630354)=-130{,}057{,}447\\ (\text{m})
\Delta Y_{0\to1}=136{,}000\cdot\cos(287^\circ)=136{,}000\cdot\cos(73^\circ)
=136{,}000\cdot0{,}2923717047227368=39{,}762{,}552\\ (\text{m})
(Para fazer à mão: multiplique 136{,}000 por 0{,}9563048 e por 0{,}2923717 separadamente; eu mostrei os fatores com precisão suficiente.)

Passo 4

Trecho 1\to2: azimute \;181^\circ 27' e distância \;100{,}500\\ \text{m}.
Converta minutos para graus decimais:
181^\circ 27' = 181 + \dfrac{27}{60} = 181{,}450^\circ.
Note que 181{,}450^\circ = 180^\circ + 1{,}450^\circ. Assim
\sin(181{,}450^\circ) = -\sin(1{,}450^\circ),\qquad \cos(181{,}450^\circ)=-\cos(1{,}450^\circ).
Calcule (ângulo pequeno, podemos usar aproximações séries ou tabela):
1{,}450^\circ \text{ em rad} \approx 0{,}025307274\\ \text{rad}
\sin(1{,}450^\circ)\approx 0{,}025304576,\qquad \cos(1{,}450^\circ)\approx 0{,}9996797686.
Agora as componentes:
\Delta X_{1\to2}=100{,}500\cdot\sin(181{,}450^\circ)=100{,}500\cdot(-0{,}025304576)
=-2{,}543{,}110\\ (\text{m})
\Delta Y_{1\to2}=100{,}500\cdot\cos(181{,}450^\circ)=100{,}500\cdot(-0{,}9996797686)
=-100{,}467{,}817\\ (\text{m})

Passo 5

Trecho 2\to3: azimute \;90^\circ 00' e distância \;72{,}500\\ \text{m}.
Aqui não há minutos; 90^\circ é exato. Conhecemos senos e cossenos exatos:
\sin(90^\circ)=1,\qquad \cos(90^\circ)=0.
Logo
\Delta X_{2\to3}=72{,}500\cdot\sin(90^\circ)=72{,}500\cdot1=72{,}500\\ (\text{m})
\Delta Y_{2\to3}=72{,}500\cdot\cos(90^\circ)=72{,}500\cdot0=0{,}000\\ (\text{m})

Passo 6

Trecho 3\to0: azimute \;45^\circ 00' e distância \;85{,}000\\ \text{m}.
Azimute 45^\circ tem seno e cosseno iguais:
\sin(45^\circ)=\cos(45^\circ)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\approx 0{,}7071067811865476.
Portanto
\Delta X_{3\to0}=85{,}000\cdot 0{,}7071067811865476=60{,}104{,}076\\ (\text{m})
\Delta Y_{3\to0}=85{,}000\cdot 0{,}7071067811865476=60{,}104{,}076\\ (\text{m})

Passo 7

Checagem de fechamento (importante na prova): some todas as \Delta X e todas as \Delta Y. Em princípio a soma deve ser zero (fechamento da poligonal). Usando os valores calculados:
Soma das \Delta X:
-130{,}057{,}447 + (-2{,}543{,}110) + 72{,}500{,}000 + 60{,}104{,}076 \approx 0{,}003{,}520\\ \text{m}
Soma das \Delta Y:
39{,}762{,}552 + (-100{,}467{,}817) + 0{,}000 + 60{,}104{,}076 \approx -0{,}601{,}189\\ \text{m}
Há um pequeno desajuste (fechamento não exatamente zero) — isso pode ser devido ao arredondamento dos valores trigonométricos usados manualmente ou a pequenas inconsistências nos dados originais. Em prova, faça a checagem e, se solicitado, distribua o erro de fechamento (método de compensação) proporcionalmente às distâncias; aqui o objetivo era calcular as componentes, então apresentamos os valores diretos.

Resposta

Estação 0\to1: \Delta X = -130{,}057{,}447\\ \text{m},\\ \Delta Y = 39{,}762{,}552\\ \text{m}
Estação 1\to2: \Delta X = -2{,}543{,}110\\ \text{m},\\ \Delta Y = -100{,}467{,}817\\ \text{m}
Estação 2\to3: \Delta X = 72{,}500{,}000\\ \text{m},\\ \Delta Y = 0{,}000\\ \text{m}
Estação 3\to0: \Delta X = 60{,}104{,}076\\ \text{m},\\ \Delta Y = 60{,}104{,}076\\ \text{m}

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