Exercício 05
Considere uma onda harmônica descrita por y(x, t)=A \sin (k x-\omega t).
(b) Obtenha a energia potencial associada a um elemento da corda.

Passo 1

O enunciado dá a onda harmônica
y(x,t)=A\sin(kx-\omega t)
e pede: obter a energia potencial associada a um elemento da corda.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função deslocamento é \;y(x,t)=A\sin(kx-\omega t).\n
  • As quantidades que aparecem e que usaremos: amplitude \;A, número de onda \;k, frequência angular \;\omega.
    O que se pede exatamente: escrever a energia potencial armazenada em um pequeno elemento de comprimento \;dx da corda (isto é, dU ou a densidade de energia potencial por unidade de comprimento).

Passo 2

Intuição física e ideia do que causa a energia potencial: quando a corda está deslocada transversalmente, cada pedaço fica ligeiramente esticado em relação ao comprimento em repouso; essa extensão, sob a tensão \;T da corda, armazena energia elástica. Vamos calcular essa energia para um elemento entre x e x+dx.

Passo 3

Comprimento do elemento deformado. O comprimento real do trecho entre x e x+dx é
dl=\sqrt{1+\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)^{2}}\,dx.
Aqui \partial y/\partial x é a inclinação da corda em cada ponto. Para pequenos deslocamentos transversos (hipótese usual: \left|\partial y/\partial x\right|\ll1), expandimos a raiz em série de Taylor até o termo principal:
\sqrt{1+\varepsilon}\approx 1+\frac{\varepsilon}{2}\quad\text{para }\varepsilon\ll1.
Tomando \varepsilon=\left(\dfrac{\partial y}{\partial x}\right)^{2} obtemos
dl \approx \left(1+\frac{1}{2}\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)^{2}\right)dx.

Passo 4

Alongamento do elemento e trabalho realizado. O alongamento é
\delta l = dl - dx \approx \frac{1}{2}\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)^{2}dx.
Se a corda está sujeita a uma tensão constante \;T, a energia potencial armazenada no elemento (trabalho feito para esticá-lo) é, à primeira ordem, o produto da tensão pelo alongamento:
dU \approx T\,\delta l = T\cdot\frac{1}{2}\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)^{2}dx.
Portanto a densidade de energia potencial (por unidade de comprimento) é
u_p(x,t)=\frac{dU}{dx}=\frac{1}{2}T\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)^{2}.
Observação importante: essa expressão vale sob a hipótese de pequenas inclinações \left|\partial y/\partial x\right|\ll1 e tensão praticamente constante ao longo do elemento.

Passo 5

Agora aplicamos a forma da onda dada. Calculamos a derivada espacial:
\frac{\partial y}{\partial x}=A k \cos(kx-\omega t).
Substituindo em dU obtemos
dU=\frac{1}{2}T\big(Ak\cos(kx-\omega t)\big)^{2}dx.

Passo 6

Simplificando a expressão:
dU=\frac{1}{2}T A^{2}k^{2}\cos^{2}(kx-\omega t)\,dx.
E a densidade de energia potencial por unidade de comprimento é
u_p(x,t)=\frac{1}{2}T A^{2}k^{2}\cos^{2}(kx-\omega t).

Passo 7

Valor médio temporal (para reforçar a intuição): como \langle\cos^{2}\rangle_{t}=1/2, a energia potencial média por unidade de comprimento ao longo do tempo é
\langle u_p\rangle_{t}=\frac{1}{4}T A^{2}k^{2}.
Resumo das hipóteses usadas: tensão T uniforme e pequenas inclinações \left|\partial y/\partial x\right|\ll1.

Resposta

\mathrm{d}U=\dfrac{1}{2}T A^{2}k^{2}\cos^{2}(kx-\omega t)\,dx

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