Exercício 05
Considere uma onda harmônica descrita por
.
(b) Obtenha a energia potencial associada a um elemento da corda.
Considere uma onda harmônica descrita por
Passo 1
O enunciado dá a onda harmônica
e pede: obter a energia potencial associada a um elemento da corda.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A função deslocamento é
.\n - As quantidades que aparecem e que usaremos: amplitude
, número de onda , frequência angular .
O que se pede exatamente: escrever a energia potencial armazenada em um pequeno elemento de comprimentoda corda (isto é, ou a densidade de energia potencial por unidade de comprimento).
Passo 2
Intuição física e ideia do que causa a energia potencial: quando a corda está deslocada transversalmente, cada pedaço fica ligeiramente esticado em relação ao comprimento em repouso; essa extensão, sob a tensão
da corda, armazena energia elástica. Vamos calcular essa energia para um elemento entre
e
.
Passo 3
Comprimento do elemento deformado. O comprimento real do trecho entre
e
é
Aqui
é a inclinação da corda em cada ponto. Para pequenos deslocamentos transversos (hipótese usual:
), expandimos a raiz em série de Taylor até o termo principal:
Tomando
obtemos
Passo 4
Alongamento do elemento e trabalho realizado. O alongamento é
Se a corda está sujeita a uma tensão constante
, a energia potencial armazenada no elemento (trabalho feito para esticá-lo) é, à primeira ordem, o produto da tensão pelo alongamento:
Portanto a densidade de energia potencial (por unidade de comprimento) é
Observação importante: essa expressão vale sob a hipótese de pequenas inclinações
e tensão praticamente constante ao longo do elemento.
Passo 5
Agora aplicamos a forma da onda dada. Calculamos a derivada espacial:
Substituindo em
obtemos
Passo 6
Simplificando a expressão:
E a densidade de energia potencial por unidade de comprimento é
Passo 7
Valor médio temporal (para reforçar a intuição): como
, a energia potencial média por unidade de comprimento ao longo do tempo é
Resumo das hipóteses usadas: tensão
uniforme e pequenas inclinações
.