Exercício 19
Considere duas ondas sonoras na posição x=0, descritas por:
\begin{array}{l} s_{1}(x, t)=S \cos (k x-\Omega t) \rightarrow s_{1}(0, t)=S \cos (\Omega t) \\\ s_{2}(x, t)=S \cos (k x-\omega t) \rightarrow s_{1}(0, t)=S \cos (\omega t) \end{array}
com frequências angulares diferentes \Omega e \omega.
ou ainda, em termos de frequência,
f_{b}=\left|f_{2}-f_{1}\right| .

Passo 1

O enunciado dá duas ondas medidas em x=0:
  • s_{1}(0,t)=S\cos(\Omega t).
  • s_{2}(0,t)=S\cos(\omega t).
    As frequências angulares são diferentes: \Omega\neq\omega.
O que o enunciado pede (explicitamente ou implicitamente):
  • Determinar a forma da superposição s(0,t)=s_{1}(0,t)+s_{2}(0,t) e explicar como surge o fenômeno dos batimentos.
  • Obter a expressão para a frequência de batimento f_{b} em termos de f_{1},f_{2} (ou \Omega,\omega).
Informações relevantes dadas:
  • Amplitudes iguais S para as duas ondas.
  • Duas frequências angulares diferentes \Omega e \omega.
  • Foi fornecida uma fórmula sugerida no enunciado: f_{b}=\left|f_{2}-f_{1}\right| (vamos demonstrar isso).

Passo 2

Calcular a superposição em x=0. Somando as duas ondas:
s(0,t)=s_{1}(0,t)+s_{2}(0,t)=S\cos(\Omega t)+S\cos(\omega t).
Agora usamos a identidade trigonométrica essencial para somas de cossenos:
\cos A + \cos B = 2\cos\!\bigg(\frac{A+B}{2}\bigg)\cos\!\bigg(\frac{A-B}{2}\bigg).
Explicando essa identidade (aula rápida): ela transforma a soma de duas oscilações em um produto de duas cossenos — uma com a média das fases (oscilação rápida, “portadora”) e outra com a metade da diferença das fases (modulação lenta, “envelope”). Isso é ótimo porque revela claramente a estrutura de batimento.
Aplicando a identidade com A=\Omega t e B=\omega t:
s(0,t)=2S\cos\!\bigg(\frac{\Omega+\omega}{2}\,t\bigg)\cos\!\bigg(\frac{\Omega-\omega}{2}\,t\bigg).

Passo 3

Interpretação física das duas cossenos do produto:
  • O termo \cos\!\big(\dfrac{\Omega+\omega}{2}t\big) é a oscilação de alta frequência (frequência média), que faz as cristas e vales rápidos — é o “som” que vibra rápido.
  • O termo \cos\!\big(\dfrac{\Omega-\omega}{2}t\big) modula a amplitude dessa oscilação rápida; sua amplitude varia lentamente no tempo formando o envelope (a batida).
Escrevendo de forma explícita a amplitude instantânea (envelope):
A(t)=2S\cos\!\bigg(\frac{\Omega-\omega}{2}\,t\bigg).
O sinal absoluto do envelope ( |A(t)|) determina quando a amplitude é máxima ou mínima.

Passo 4

Determinar a frequência de batimento. Há duas maneiras equivalentes de raciocinar; vou mostrar a via detalhada por períodos.
Queremos a taxa com que aparecem os máximos de amplitude (ou seja, quantos “pulsos” de amplitude ocorrem por segundo). Os máximos do envelope ocorrem quando
\cos\!\bigg(\frac{\Omega-\omega}{2}\,t\bigg)=\pm 1,
ou seja quando o argumento satisfaz
\frac{\Omega-\omega}{2}\,t_{n}=n\pi,\qquad n\in\mathbb{Z}.
Assim os tempos dos máximos são
t_{n}=\frac{2n\pi}{\Omega-\omega}.
O intervalo de tempo entre máximos consecutivos é
T_{b}=t_{n+1}-t_{n}=\frac{2\pi}{\Omega-\omega}.
A frequência de batimento (nº de máximos por segundo) é o inverso desse período:
f_{b}=\frac{1}{T_{b}}=\frac{\Omega-\omega}{2\pi}.
Como a frequência deve ser positiva, tomamos valor absoluto:
f_{b}=\frac{|\Omega-\omega|}{2\pi}.
Agora usamos a relação entre frequência ordinária e frequência angular: para cada onda f_{i}=\dfrac{\omega_{i}}{2\pi}. Se chamarmos f_{1}=\dfrac{\Omega}{2\pi} e f_{2}=\dfrac{\omega}{2\pi}, obtemos imediatamente
f_{b}=|f_{2}-f_{1}|.
Breve comentário didático: embora o envelope varie com a função \cos\!\big(\tfrac{\Omega-\omega}{2}t\big), o número de batidas por segundo é \dfrac{|\Omega-\omega|}{2\pi} (não a metade disso), porque os máximos de amplitude ocorrem a cada incremento de argumento igual a \pi (veja o passo com t_n acima).

Passo 5

Exemplo numérico concreto (para fixar):
  • Suponha f_{1}=440\\ \text{Hz} e f_{2}=442\\ \text{Hz}. Então
f_{b}=|442-440|=2\\ \text{Hz}.
Isto significa que a amplitude percebida sobe e desce 2 vezes por segundo — ouvir-se-ão 2 batidas por segundo.
Observação prática e motivadora: batimentos são bem percebidos quando |f_{2}-f_{1}| é pequeno (alguns Hz até dezenas de Hz). Se a diferença for muito grande as duas frequências soam simplesmente como sons diferentes, não como um único som com batimento.

Resposta

f_{b}=|f_{2}-f_{1}|
f_{b}=\dfrac{|\Omega-\omega|}{2\pi}

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