Exercício 19
Considere duas ondas sonoras na posição
, descritas por:
com frequências angulares diferentes
e
.
ou ainda, em termos de frequência,
Considere duas ondas sonoras na posição
Passo 1
O enunciado dá duas ondas medidas em
:
-
. -
.
As frequências angulares são diferentes:.
O que o enunciado pede (explicitamente ou implicitamente):
- Determinar a forma da superposição
e explicar como surge o fenômeno dos batimentos. - Obter a expressão para a frequência de batimento
em termos de (ou ).
Informações relevantes dadas:
- Amplitudes iguais
para as duas ondas. - Duas frequências angulares diferentes
e . - Foi fornecida uma fórmula sugerida no enunciado:
(vamos demonstrar isso).
Passo 2
Calcular a superposição em
. Somando as duas ondas:
Agora usamos a identidade trigonométrica essencial para somas de cossenos:
Explicando essa identidade (aula rápida): ela transforma a soma de duas oscilações em um produto de duas cossenos — uma com a média das fases (oscilação rápida, “portadora”) e outra com a metade da diferença das fases (modulação lenta, “envelope”). Isso é ótimo porque revela claramente a estrutura de batimento.
Aplicando a identidade com
e
:
Passo 3
Interpretação física das duas cossenos do produto:
- O termo
é a oscilação de alta frequência (frequência média), que faz as cristas e vales rápidos — é o “som” que vibra rápido. - O termo
modula a amplitude dessa oscilação rápida; sua amplitude varia lentamente no tempo formando o envelope (a batida).
Escrevendo de forma explícita a amplitude instantânea (envelope):
O sinal absoluto do envelope (
) determina quando a amplitude é máxima ou mínima.
Passo 4
Determinar a frequência de batimento. Há duas maneiras equivalentes de raciocinar; vou mostrar a via detalhada por períodos.
Queremos a taxa com que aparecem os máximos de amplitude (ou seja, quantos “pulsos” de amplitude ocorrem por segundo). Os máximos do envelope ocorrem quando
ou seja quando o argumento satisfaz
Assim os tempos dos máximos são
O intervalo de tempo entre máximos consecutivos é
A frequência de batimento (nº de máximos por segundo) é o inverso desse período:
Como a frequência deve ser positiva, tomamos valor absoluto:
Agora usamos a relação entre frequência ordinária e frequência angular: para cada onda
. Se chamarmos
e
, obtemos imediatamente
Breve comentário didático: embora o envelope varie com a função
, o número de batidas por segundo é
(não a metade disso), porque os máximos de amplitude ocorrem a cada incremento de argumento igual a
(veja o passo com
acima).
Passo 5
Exemplo numérico concreto (para fixar):
- Suponha
e . Então
Isto significa que a amplitude percebida sobe e desce 2 vezes por segundo — ouvir-se-ão 2 batidas por segundo.
Observação prática e motivadora: batimentos são bem percebidos quando
é pequeno (alguns Hz até dezenas de Hz). Se a diferença for muito grande as duas frequências soam simplesmente como sons diferentes, não como um único som com batimento.