Exercício 09: Transforme as sentenças abertas abaixo em sentenças, de modo que:
  • a 1{ }^{\text {a }} seja verdadeira,
  • a 2{ }^{\mathrm{a}} seja falsa,
  • a 3{ }^{\text {a }} seja falsa,
  • a 4{ }^{\text {a }} seja verdadeira.
    |x-3| \geq 10.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • Enunciado dado: a sentença aberta |x-3| \geq 10.
  • Pedido: transformar essa sentença aberta em quatro sentenças (ou seja, atribuir valores a x ou fechar a sentença de forma que sejam sentenças fechadas) de modo que:
    • a 1ª seja verdadeira;
    • a 2ª seja falsa;
    • a 3ª seja falsa;
    • a 4ª seja verdadeira.
Informações relevantes fornecidas:
  • A única informação é a desigualdade absoluta |x-3| \geq 10.
  • Não foi dada restrição adicional sobre x, então podemos escolher x dentre os números reais.

Passo 2

Entendendo o que significa |x-3| \geq 10\) (mini-aula sobre valor absoluto) - Definição do valor absoluto: para qualquer número real \(a\), \[|a| = \begin{cases} a, & \text{se } a \ge 0,\\[4pt] -a, & \text{se } a < 0. \end{cases}
Isso significa que |a|\] é a distância de \(a até 0 na reta numérica (sempre não negativa).
  • Aplicando isso a |x-3|: |x-3| é a distância do número x ao número 3 na reta.
  • A desigualdade |x-3| \ge 10 diz que a distância entre x e 3 é pelo menos 10. Em termos geométricos: x está a 10 ou mais unidades de distância de 3.]

Passo 3

Resolver a desigualdade |x-3| \ge 10 (passo a passo algébrico)
  • A regra para |u| \ge a com a\ge0 é equivalente a u \ge a ou u \le -a.
  • Aqui u = x-3 e a = 10. Então |x-3| \ge 10 \quad\Longleftrightarrow\quad x-3 \ge 10 \quad\text{ou}\quad x-3 \le -10.
  • Resolvendo cada caso: x-3 \ge 10 \quad\Longrightarrow\quad x \ge 13,
x-3 \le -10 \quad\Longrightarrow\quad x \le -7.
  • Conclusão: o conjunto solução é \{x\in\mathbb{R}\mid x\le -7\}\cup\{x\in\mathbb{R}\mid x\ge 13\} = (-\infty,-7]\cup[13,\infty).
  • Interpretação prática: qualquer x menor ou igual a -7 ou maior ou igual a 13 torna a sentença verdadeira; qualquer x entre -7 e 13 (excluindo as extremidades) torna a sentença falsa.

Passo 4

Como construir sentenças verdadeiras e falsas a partir disso (estratégia)
  • Para obter uma sentença verdadeira: escolher um valor de x em (-\infty,-7] ou em [13,\infty).
  • Para obter uma sentença falsa: escolher um valor de x em (-7,13).
  • Para facilitar na prova, é bom escolher números inteiros simples, por exemplo:
    • Verdadeiros: x=13 (na fronteira direita) ou x=-8 (estritamente à esquerda).
    • Falsos: x=3 (no centro) ou x=12 (próximo da fronteira direita, mas ainda dentro do intervalo que dá falso).

Passo 5

Verificação numérica das escolhas (mostrar as contas passo a passo)
  • Para x=13: |13-3| = |10| = 10,e 10 \ge 10 é verdadeiro. Logo a sentença fechada |13-3| \ge 10 é verdadeira.
  • Para x=3: |3-3| = |0| = 0,e 0 \ge 10 é falso. Logo |3-3| \ge 10 é falsa.
  • Para x=12: |12-3| = |9| = 9,e 9 \ge 10 é falso. Logo |12-3| \ge 10 é falsa.
  • Para x=-8: |-8-3| = |-11| = 11,e 11 \ge 10 é verdadeiro. Logo |-8-3| \ge 10 é verdadeira.

Resposta

|13-3| \geq 10
|3-3| \geq 10
|12-3| \geq 10
|-8-3| \geq 10

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