Exercício 09: Transforme as sentenças abertas abaixo em sentenças, de modo que:
- a
seja verdadeira,
- a
seja falsa,
- a
seja falsa,
- a
seja verdadeira.
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá:
- Enunciado dado: a sentença aberta
. - Pedido: transformar essa sentença aberta em quatro sentenças (ou seja, atribuir valores a
ou fechar a sentença de forma que sejam sentenças fechadas) de modo que: - a 1ª seja verdadeira;
- a 2ª seja falsa;
- a 3ª seja falsa;
- a 4ª seja verdadeira.
Informações relevantes fornecidas:
- A única informação é a desigualdade absoluta
. - Não foi dada restrição adicional sobre
, então podemos escolher dentre os números reais.
Passo 2
Entendendo o que significa
Isso significa que
até
na reta numérica (sempre não negativa).
- Aplicando isso a
: é a distância do número ao número na reta. - A desigualdade
diz que a distância entre e é pelo menos . Em termos geométricos: está a 10 ou mais unidades de distância de .]
Passo 3
Resolver a desigualdade
(passo a passo algébrico)
- A regra para
com é equivalente a ou . - Aqui
e . Então - Resolvendo cada caso:
- Conclusão: o conjunto solução é
- Interpretação prática: qualquer
menor ou igual a ou maior ou igual a torna a sentença verdadeira; qualquer entre e (excluindo as extremidades) torna a sentença falsa.
Passo 4
Como construir sentenças verdadeiras e falsas a partir disso (estratégia)
- Para obter uma sentença verdadeira: escolher um valor de
em ou em . - Para obter uma sentença falsa: escolher um valor de
em . - Para facilitar na prova, é bom escolher números inteiros simples, por exemplo:
- Verdadeiros:
(na fronteira direita) ou (estritamente à esquerda). - Falsos:
(no centro) ou (próximo da fronteira direita, mas ainda dentro do intervalo que dá falso).
- Verdadeiros:
Passo 5
Verificação numérica das escolhas (mostrar as contas passo a passo)
- Para
: e é verdadeiro. Logo a sentença fechada é verdadeira. - Para
: e é falso. Logo é falsa. - Para
: e é falso. Logo é falsa. - Para
: e é verdadeiro. Logo é verdadeira.