Exercício 09: Demonstre que as seguintes proposições são contingentes:
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar que a proposição
é contingente.
Informações dadas e elementos a considerar:
- As variáveis proposicionais são
e . - Os conectivos presentes são:
-
(conjunção: ``e’’), -
(disjunção: ``ou’’), -
(negação: ``não’’), -
(a operação de Sheffer — normalmente usada como NAND).
-
- Definição útil da operação
(NAND): para quaisquer fórmulas e ,
O que significa mostrar que a fórmula é contingente:
- Uma fórmula é tautologia se for verdadeira em todas as avaliações (todas as combinações de valores de
e ). - Uma fórmula é contradição se for falsa em todas as avaliações.
- Uma fórmula é contingente se existir pelo menos uma avaliação que a torne verdadeira e pelo menos uma avaliação que a torne falsa.
Portanto, para provar contingência basta encontrar avaliações (atribuições de verdadeiro/falso a) com resultados diferentes.
Passo 2
Estratégia de resolução (método escolhido): construir a tabela-verdade completa para as duas variáveis
e
. Essa é a maneira mais direta aqui porque existem só
linhas, e assim podemos verificar se a fórmula é verdadeira para todas, nenhuma ou algumas avaliações.
Vamos preparar colunas intermediárias que facilitam os cálculos:
-
-
-
-
-
-
que, pela definição, é -
(a fórmula final)
Agora calculamos linha a linha.
Passo 3
Linha 1:
Verdadeiro,
Verdadeiro.
-
: como e são verdadeiros, Verdadeiro. -
: negação de Verdadeiro é Falso, então Falso. -
: é Falso Verdadeiro Falso. -
: por definição é Verdadeiro. - Fórmula final:
Verdadeiro Verdadeiro Verdadeiro.
Portanto, na linha 1 a fórmula vale Verdadeiro.
Passo 4
Linha 2:
Verdadeiro,
Falso.
-
: Verdadeiro Falso Falso. -
: negação de Falso é Verdadeiro, então Verdadeiro. -
: Verdadeiro Verdadeiro Verdadeiro. -
: Falso. - Fórmula final: Falso
Falso Falso.
Portanto, na linha 2 a fórmula vale Falso.
Passo 5
Linha 3:
Falso,
Verdadeiro.
-
: Falso Verdadeiro Falso. -
: negação de Verdadeiro é Falso. -
: Falso Falso Falso. -
: Verdadeiro. - Fórmula final: Falso
Verdadeiro Verdadeiro.
Portanto, na linha 3 a fórmula vale Verdadeiro.
Passo 6
Linha 4:
Falso,
Falso.
-
: Falso Falso Falso. -
: negação de Falso é Verdadeiro. -
: Verdadeiro Falso Falso. -
: Verdadeiro. - Fórmula final: Falso
Verdadeiro Verdadeiro.
Portanto, na linha 4 a fórmula vale Verdadeiro.
Passo 7
Resumo dos resultados das quatro avaliações:
-
V, V → fórmula = V -
V, F → fórmula = F -
F, V → fórmula = V -
F, F → fórmula = V
Vimos explicitamente que existe pelo menos uma avaliação que torna a fórmula Verdadeira (por exemplo
F,
F) e existe pelo menos uma avaliação que a torna Falsa (por exemplo
V,
F). Isso significa que a fórmula não é tautologia (nem sempre verdadeira) e não é contradição (nem sempre falsa).
Concluímos, portanto, que a fórmula é contingente.