Exercício 09: Demonstre que as seguintes proposições são contingentes:
(p \wedge q) \vee(\neg q \uparrow p)

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar que a proposição
(p \wedge q) \vee (\neg q \uparrow p)
é contingente.
Informações dadas e elementos a considerar:
  • As variáveis proposicionais são p e q.
  • Os conectivos presentes são:
    • \wedge (conjunção: ``e’’),
    • \vee (disjunção: ``ou’’),
    • \neg (negação: ``não’’),
    • \uparrow (a operação de Sheffer — normalmente usada como NAND).
  • Definição útil da operação \uparrow (NAND): para quaisquer fórmulas A e B,
A \uparrow B \equiv \neg\bigl(A \wedge B\bigr).
O que significa mostrar que a fórmula é contingente:
  • Uma fórmula é tautologia se for verdadeira em todas as avaliações (todas as combinações de valores de p e q).
  • Uma fórmula é contradição se for falsa em todas as avaliações.
  • Uma fórmula é contingente se existir pelo menos uma avaliação que a torne verdadeira e pelo menos uma avaliação que a torne falsa.
    Portanto, para provar contingência basta encontrar avaliações (atribuições de verdadeiro/falso a p,q) com resultados diferentes.

Passo 2

Estratégia de resolução (método escolhido): construir a tabela-verdade completa para as duas variáveis p e q. Essa é a maneira mais direta aqui porque existem só 2^2=4 linhas, e assim podemos verificar se a fórmula é verdadeira para todas, nenhuma ou algumas avaliações.
Vamos preparar colunas intermediárias que facilitam os cálculos:
  • p
  • q
  • p \wedge q
  • \neg q
  • (\neg q) \wedge p
  • (\neg q) \uparrow p que, pela definição, é \neg\bigl((\neg q)\wedge p\bigr)
  • (p \wedge q) \vee (\neg q \uparrow p) (a fórmula final)
Agora calculamos linha a linha.

Passo 3

Linha 1: p= Verdadeiro, q= Verdadeiro.
  • p \wedge q: como p e q são verdadeiros, p \wedge q = Verdadeiro.
  • \neg q: negação de Verdadeiro é Falso, então \neg q = Falso.
  • (\neg q) \wedge p: é Falso \wedge Verdadeiro = Falso.
  • (\neg q) \uparrow p: por definição é \neg\bigl((\neg q)\wedge p\bigr)=\neg(\text{Falso})= Verdadeiro.
  • Fórmula final: (p \wedge q) \vee (\neg q \uparrow p) = Verdadeiro \vee Verdadeiro = Verdadeiro.
Portanto, na linha 1 a fórmula vale Verdadeiro.

Passo 4

Linha 2: p= Verdadeiro, q= Falso.
  • p \wedge q: Verdadeiro \wedge Falso = Falso.
  • \neg q: negação de Falso é Verdadeiro, então \neg q = Verdadeiro.
  • (\neg q) \wedge p: Verdadeiro \wedge Verdadeiro = Verdadeiro.
  • (\neg q) \uparrow p: \neg\bigl((\neg q)\wedge p\bigr)=\neg(\text{Verdadeiro})= Falso.
  • Fórmula final: Falso \vee Falso = Falso.
Portanto, na linha 2 a fórmula vale Falso.

Passo 5

Linha 3: p= Falso, q= Verdadeiro.
  • p \wedge q: Falso \wedge Verdadeiro = Falso.
  • \neg q: negação de Verdadeiro é Falso.
  • (\neg q) \wedge p: Falso \wedge Falso = Falso.
  • (\neg q) \uparrow p: \neg(\text{Falso})= Verdadeiro.
  • Fórmula final: Falso \vee Verdadeiro = Verdadeiro.
Portanto, na linha 3 a fórmula vale Verdadeiro.

Passo 6

Linha 4: p= Falso, q= Falso.
  • p \wedge q: Falso \wedge Falso = Falso.
  • \neg q: negação de Falso é Verdadeiro.
  • (\neg q) \wedge p: Verdadeiro \wedge Falso = Falso.
  • (\neg q) \uparrow p: \neg(\text{Falso})= Verdadeiro.
  • Fórmula final: Falso \vee Verdadeiro = Verdadeiro.
Portanto, na linha 4 a fórmula vale Verdadeiro.

Passo 7

Resumo dos resultados das quatro avaliações:
  • p= V, q= V → fórmula = V
  • p= V, q= F → fórmula = F
  • p= F, q= V → fórmula = V
  • p= F, q= F → fórmula = V
Vimos explicitamente que existe pelo menos uma avaliação que torna a fórmula Verdadeira (por exemplo p= F, q= F) e existe pelo menos uma avaliação que a torna Falsa (por exemplo p= V, q= F). Isso significa que a fórmula não é tautologia (nem sempre verdadeira) e não é contradição (nem sempre falsa).
Concluímos, portanto, que a fórmula é contingente.

Resposta

\text{A fórmula }(p \wedge q) \vee (\neg q \uparrow p)\text{ é contingente.}óé

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