Resolva os seguintes sistemas de equações lineares usando o método de Gauss:
\left\{\begin{array}{l}x+4 y-z=2 \\\\ 4 x-y+6 z=31 \\\\ 3 x+y-3 z=-5\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema de equações lineares abaixo usando o método de Gauss. Aqui estão as equações e as incógnitas dadas:
\begin{cases} x+4y-z=2,\\[4pt] 4x-y+6z=31,\\[4pt] 3x+y-3z=-5. \end{cases}
O objetivo é encontrar os valores de x, y e z que satisfazem simultaneamente as três equações.]

Passo 2

Conceito e preparação: o método de Gauss (eliminação gaussiana) transforma o sistema numérico num sistema triangular superior através de operações elementares de linha sobre a matriz aumentada. Operações permitidas:
  • trocar duas linhas;
  • multiplicar uma linha por um escalar não nulo;
  • somar a uma linha um múltiplo de outra linha.
Formo a matriz aumentada do sistema (colunas correspondem a x,y,z e a coluna à direita é o termo independente):
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 4 & -1 & 2\\[4pt] 4 & -1 & 6 & 31\\[4pt] 3 & 1 & -3 & -5 \end{array}\right]]

Passo 3

Eliminação da coluna 1 (zerar os elementos abaixo do pivô 1 da primeira linha). Usarei R_i para indicar a i-ésima linha.
Aplicar R_2 \leftarrow R_2-4R_1:
R_2: \quad \begin{array}{l} 4-4\cdot1=0,\\[4pt] -1-4\cdot4=-1-16=-17,\\[4pt] 6-4\cdot(-1)=6+4=10,\\[4pt] 31-4\cdot2=31-8=23. \end{array}
Logo a nova R_2 é [0\\\ -17\\\ 10\mid 23].
Aplicar R_3 \leftarrow R_3-3R_1:
R_3: \quad \begin{array}{l} 3-3\cdot1=0,\\[4pt] 1-3\cdot4=1-12=-11,\\[4pt] -3-3\cdot(-1)=-3+3=0,\\[4pt] -5-3\cdot2=-5-6=-11. \end{array}
Logo a nova R_3 é [0\\\ -11\\\ 0\mid -11].
A matriz aumentada após essas operações:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 4 & -1 & 2\\[4pt] 0 & -17 & 10 & 23\\[4pt] 0 & -11 & 0 & -11 \end{array}\right]]

Passo 4

Eliminação da coluna 2 (usar o pivô -17 em R_2 para zerar o elemento -11 em R_3).
Fator para eliminar: \dfrac{-11}{-17}=\dfrac{11}{17}. Aplicar R_3 \leftarrow R_3 - \dfrac{11}{17}R_2.
Calculo componente a componente:
Segunda entrada: -11 - \dfrac{11}{17}\cdot(-17) = -11 +11 = 0 (confirmando eliminação).
Terceira entrada:
0 - \dfrac{11}{17}\cdot 10 = -\dfrac{110}{17}.
Termo independente:
-11 - \dfrac{11}{17}\cdot 23 = -11 - \dfrac{253}{17} = -\dfrac{187}{17} - \dfrac{253}{17} = -\dfrac{440}{17}.
Assim R_3 fica \left[0\\\ 0\\\ -\dfrac{110}{17}\\ \big|\\\ -\dfrac{440}{17}\right].
Para simplificar, multiplico R_3 por 17 (operação permitida): R_3 \leftarrow 17R_3, obtendo
R_3 = [0\\\ 0\\\ -110 \mid -440].
É conveniente tornar o pivô igual a 1: dividir R_3 por -110: R_3 \leftarrow \dfrac{1}{-110}R_3, então
R_3 = [0\\\ 0\\\ 1 \mid 4].
A matriz agora é triangular superior:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 4 & -1 & 2\\[4pt] 0 & -17 & 10 & 23\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 4 \end{array}\right]]

Passo 5

Interpretação da última linha obtida: ela representa a equação para z. Da linha R_3 temos
1\cdot z = 4,
portanto
z=4.

Passo 6

Retro-substituição para encontrar y. A segunda linha R_2 corresponde a -17y+10z=23. Substituindo z=4:
-17y + 10\cdot 4 = 23.
Calculando:
-17y + 40 = 23 \quad\Rightarrow\quad -17y = 23-40 = -17.
Logo
y = \dfrac{-17}{-17} = 1.

Passo 7

Retro-substituição para encontrar x. A primeira equação é x+4y-z=2. Substituindo y=1 e z=4:
x + 4\cdot 1 - 4 = 2.
Calculando:
x + 4 - 4 = 2 \quad\Rightarrow\quad x = 2.

Passo 8

Verificação rápida (opcional mas recomendado): substituo (x,y,z)=(2,1,4) nas três equações originais.
Primeira: 2 + 4\cdot1 - 4 = 2 +4 -4 =2 OK.
Segunda: 4\cdot2 -1 +6\cdot4 =8 -1 +24 =31 OK.
Terceira: 3\cdot2 +1 -3\cdot4 =6 +1 -12 = -5 OK.
Tudo confere.

Resposta

x=2
y=1
z=4

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