Resolva os seguintes sistemas de equações lineares usando o método de Gauss:
\left\{\begin{array}{l}-x+4 y=7 \\\\ 2 x+3 y=8\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear e dá duas equações com duas incógnitas:
\begin{cases} -x+4y=7,\\[4pt] 2x+3y=8. \end{cases}
Objetivo: encontrar os valores de x e y que satisfazem ambas as equações simultaneamente.]

Passo 2

Breve explicação do método de eliminação de Gauss (um resumo útil antes de aplicar):
  • Representa-se o sistema por uma matriz aumentada e aplica-se operações elementares sobre as linhas para obter uma forma triangular (ou escalonada).
  • Operações elementares permitidas nas linhas: trocar duas linhas, multiplicar uma linha por um escalar não nulo, somar a uma linha um múltiplo de outra linha. Essas operações preservam o conjunto de soluções.
  • Depois de obter a forma triangular, resolve-se de baixo para cima (substituição regressiva) para encontrar as incógnitas.

Passo 3

Escrevemos a matriz aumentada do sistema:
\left[\begin{array}{cc|c} -1 & 4 & 7\\[4pt] 2 & 3 & 8 \end{array}\right].
Para facilitar, escolho transformar a primeira linha de modo a ter pivô igual a 1. Multiplico a primeira linha por -1 (operação permitida: multiplicar linha por escalar):
R_1 \leftarrow -1\cdot R_1.
A matriz passa a ser
\left[\begin{array}{cc|c} 1 & -4 & -7\\[4pt] 2 & 3 & 8 \end{array}\right].]

Passo 4

Agora uso o pivô \,1 da primeira linha para eliminar a entrada 2 na primeira coluna da segunda linha. Faço
R_2 \leftarrow R_2 - 2\cdot R_1.
Calculemos componente a componente:
  • Na coluna 1: 2 - 2\cdot 1 = 0.
  • Na coluna 2: 3 - 2\cdot (-4) = 3 + 8 = 11.
  • Na coluna do lado direito: 8 - 2\cdot (-7) = 8 + 14 = 22.
A matriz resultante é
\left[\begin{array}{cc|c} 1 & -4 & -7\\[4pt] 0 & 11 & 22 \end{array}\right].]

Passo 5

A segunda linha agora representa a equação 11y=22. Para achar y, divido ambos os lados por 11:
y=\frac{22}{11}=2.
Explanação: quando a matriz está em forma triangular, cada linha corresponde a uma equação com menos incógnitas, permitindo encontrar uma incógnita diretamente.

Passo 6

Com y=2, volto à primeira linha que representa x-4y=-7. Substituo y e resolvo para x:
x-4\cdot 2 = -7 \quad\Rightarrow\quad x-8=-7 \quad\Rightarrow\quad x = -7+8 = 1.
Isso é a substituição regressiva: usar o valor já encontrado para obter as incógnitas restantes.

Passo 7

Checagem rápida (sempre bom conferir na prova): substituindo \,x=1 e \,y=2 nas equações originais,
  • Primeira: -1 + 4\cdot 2 = -1 + 8 = 7 OK.
  • Segunda: 2\cdot 1 + 3\cdot 2 = 2 + 6 = 8 OK.
    Ambas satisfeitas, logo a solução está correta.

Resposta

x=1,\\ y=2

Exercícios relacionados