Exercício 3.10.9. Determinar por quais valores do parâmetro real k a matriz
A=(ccc 1 & -5 & 3+2 k k^2-1 & 2 & 0 k^2+3 k+2 & 0 & k+2 )
è triangular.

Passo 1

O enunciado pede determinar os valores de kinR para os quais a matriz
A = 1 & -5 & 3+2k k^2 -1 & 2 & 0 k^2 +3k +2 & 0 & k+2
é triangular. Aqui usamos a definição de matriz triangular:
– triangular inferior: todos os elementos acima da diagonal principal são zero;
– triangular superior: todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero.

Passo 2

Verificamos primeiro se A pode ser triangular inferior. Nesse caso, seria necessário
a12=0, a13=0, a23=0
Mas a12=-5neq0 independe de k, logo não há k que torne A triangular inferior.

Passo 3

Agora testamos se A pode ser triangular superior. Precisamos zerar os elementos abaixo da diagonal:
a21=k^2-1, a31=k^2+3k+2, a32=0
O elemento a32 já vale zero para todo k. Restam então as duas condições
k^2-1=0, k^2+3k+2=0

Passo 4

Resolvendo cada equação:
k^2-1=0implies k=pm1,
k^2+3k+2=0implies (k+1)(k+2)=0implies k=-1 ou k=-2
A interseção das soluções é k=-1.

Passo 5

Portanto, a única escolha de k que anula simultaneamente a21 e a31 é k=-1, deixando A triangular superior.

Resposta

k=-1

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