Exercício 10. (Apostol seção 4.8 exercícios 8) Calcule os autovalores das matrizes abaixo:
\left(
\right)
\left(
Passo 1
O enunciado pede os autovalores de
O conteúdo aqui é decompor a matriz em blocos
2times 2 e usar o determinante para obter o polinômio característico de cada bloco.
Passo 2
Note que
A é uma matriz em bloco diagonal com dois blocos idênticos
Logo, os autovalores de
A são simplesmente os autovalores de
B , cada um com multiplicidade
2 .
Passo 3
Para achar os autovalores de
B , montamos o polinômio característico
Passo 4
Calculando o determinante:
Assim, o polinômio característico de
B é
Passo 5
Cada autovalor de
B aparece duas vezes em
A . Portanto, os autovalores de
A são
Resposta
Os autovalores de
A são
lambda=1 (multiplicidade
2 ) e
lambda=-1 (multiplicidade
2 ).