Exercício 10. (Apostol seção 4.8 exercícios 8) Calcule os autovalores das matrizes abaixo:
\left( cccc0 & -i & 0 & 0 i & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & -i 0 & 0 & i & 0\right)

Passo 1

O enunciado pede os autovalores de
A = 0 & -i & 0 & 0 i & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & -i 0 & 0 & i & 0
O conteúdo aqui é decompor a matriz em blocos 2times 2 e usar o determinante para obter o polinômio característico de cada bloco.

Passo 2

Note que A é uma matriz em bloco diagonal com dois blocos idênticos
B = 0 & -i i & 0
Logo, os autovalores de A são simplesmente os autovalores de B, cada um com multiplicidade 2.

Passo 3

Para achar os autovalores de B, montamos o polinômio característico
det(B - lambda I) = det -lambda & -i i & -lambda = (-lambda)(-lambda) - (-i)(i)

Passo 4

Calculando o determinante:
(-lambda)(-lambda) - (-i)(i) = lambda^2 - l(-i^2r) = lambda^2 - l(-(-1)r) = lambda^2 - 1
Assim, o polinômio característico de B é
lambda^2 - 1 = 0 Longrightarrow lambda = pm 1

Passo 5

Cada autovalor de B aparece duas vezes em A. Portanto, os autovalores de A são
underbrace1,1duas vezes e underbrace-1,-1duas vezes

Resposta

Os autovalores de A são lambda=1 (multiplicidade 2) e lambda=-1 (multiplicidade 2).

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