A função f(x)=llx^2, & se x<1 raizx, & se x >= 1 é contínua em R ? Justifique corretamente sua resposta.

Passo 1

O enunciado define a função por partes
f(x)= x^2, & x<1, raizx, & x>=1,
e pergunta se f é contínua em R. Esse é um tema de continuidade de função por partes; como a descontinuidade só pode ocorrer na fronteira das peças, vamos verificar continuidade em três situações: x<1, x>1 e x=1.

Passo 2

Para qualquer ponto a<1, a função vale f(x)=x^2 numa vizinhança de a. Sabemos que a função polinomial xmapsto x^2 é contínua em todo R. Logo f é contínua em cada ponto de (-infty,1).

Passo 3

Para qualquer ponto b>1, a função vale f(x)=raizx numa vizinhança de b. A função xmapstoraizx é contínua em [0,infty), portanto também em (1,infty). Logo f é contínua em cada ponto de (1,infty).

Passo 4

No ponto x=1 precisamos comparar
limxto1^-f(x), limxto1^+f(x) e f(1).
Pela definição de f:
limxto1^-f(x)=limxto1^-x^2=1,
limxto1^+f(x)=limxto1^+raizx=1,
e
f(1)=raiz1=1
Como limites laterais e valor da função coincidem, f é contínua em x=1.

Resposta

Sim, f é contínua em R.

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