Exercício 10. Calcule a área das regiões limitadas por:
Eixo- x, x=1, x=p(p>1) e x y=1

Passo 1

O enunciado pede: calcular a área da região limitada pelas curvas/retas seguintes:
  • o eixo x (ou seja, y=0);
  • a reta vertical x=1;
  • a reta vertical x=p, com p>1;
  • a hipérbole dada por x y = 1.
Informações dadas importantes:
  • A equação x y = 1 pode ser reescrita como y=\dfrac{1}{x} (quando x\neq0).
  • O parâmetro p é maior que 1, logo o intervalo [1,p] está em x>0.
  • A região procurada é a parte do plano entre x=1 e x=p, limitada acima por y=\dfrac{1}{x} e abaixo por y=0.
O que se pede: encontrar a área dessa região em função de p.

Passo 2

Visualização e raciocínio sobre o que devemos calcular.
Para x entre 1 e p (com p>1) temos y=\dfrac{1}{x}>0. Portanto a região limitada é simplesmente a região entre a curva y=\dfrac{1}{x} (no topo), o eixo x (embaixo) e as retas verticais x=1 e x=p (nas laterais). Em palavras: é a área sob a curva y=\dfrac{1}{x} de x=1 até x=p.

Passo 3

Modelagem da área por uma integral definida e explicação do porquê.
Quando uma região no plano é limitada por uma função superior y=f(x) e uma função inferior y=g(x) no intervalo a\le x\le b, a área A dessa região é dada pela integral definida
A=\int_{a}^{b}\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx.
Esta fórmula vem da definição de integral definida como limite de somas de áreas de retângulos (soma de Riemann): somando muitos retângulos estreitos de altura aproximada f(x)-g(x) e largura dx obtemos a área total.
No nosso caso:
  • a função superior é f(x)=\dfrac{1}{x};
  • a função inferior é g(x)=0;
  • o intervalo é a=1 até b=p.
Logo a área é
A=\int_{1}^{p}\left(\frac{1}{x}-0\right)\,dx=\int_{1}^{p}\frac{1}{x}\,dx.

Passo 4

Calcular a integral: antiderivada de \dfrac{1}{x} e aplicação do Teorema Fundamental do Cálculo.
Conhecimento essencial (lembrando devagar): a derivada de \ln x (logaritmo natural) é \dfrac{d}{dx}\ln x=\dfrac{1}{x} para x>0. Isso significa que uma primitiva (antiderivada) de \dfrac{1}{x} é \ln x quando x>0. Em termos mais gerais a primitiva é \ln|x|+C, mas aqui estamos com x\in[1,p], ou seja x>0, então usamos \ln x.
Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo para a integral definida:
A=\int_{1}^{p}\frac{1}{x}\,dx=\Bigl[\ln x\Bigr]_{1}^{p}=\ln p-\ln 1.
E como \ln 1=0, obtemos
A=\ln p.

Passo 5

Interpretação final e dicas para prova.
  • O resultado é limpo: a área da região pedida é \ln p.
  • Observação rápida: se p=e (onde e\approx2{,}71828 é a base do logaritmo natural), então A=\ln e=1. Isso é um bom cheque numérico.
  • Dica para prova: quando vir \dfrac{1}{x} integre lembrando que a antiderivada é \ln|x| — é uma das integrais imediatas que costumam cair em exercícios rápidos.

Resposta

\ln p

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