Exercício 10. Calcule a área das regiões limitadas por:
Eixo-
,
e
Eixo-
Passo 1
O enunciado pede: calcular a área da região limitada pelas curvas/retas seguintes:
- o eixo
(ou seja, ); - a reta vertical
; - a reta vertical
, com ; - a hipérbole dada por
.
Informações dadas importantes:
- A equação
pode ser reescrita como (quando ). - O parâmetro
é maior que , logo o intervalo está em . - A região procurada é a parte do plano entre
e , limitada acima por e abaixo por .
O que se pede: encontrar a área dessa região em função de
.
Passo 2
Visualização e raciocínio sobre o que devemos calcular.
Para
entre
e
(com
) temos
. Portanto a região limitada é simplesmente a região entre a curva
(no topo), o eixo
(embaixo) e as retas verticais
e
(nas laterais). Em palavras: é a área sob a curva
de
até
.
Passo 3
Modelagem da área por uma integral definida e explicação do porquê.
Quando uma região no plano é limitada por uma função superior
e uma função inferior
no intervalo
, a área
dessa região é dada pela integral definida
Esta fórmula vem da definição de integral definida como limite de somas de áreas de retângulos (soma de Riemann): somando muitos retângulos estreitos de altura aproximada
e largura
obtemos a área total.
No nosso caso:
- a função superior é
; - a função inferior é
; - o intervalo é
até .
Logo a área é
Passo 4
Calcular a integral: antiderivada de
e aplicação do Teorema Fundamental do Cálculo.
Conhecimento essencial (lembrando devagar): a derivada de
(logaritmo natural) é
para
. Isso significa que uma primitiva (antiderivada) de
é
quando
. Em termos mais gerais a primitiva é
, mas aqui estamos com
, ou seja
, então usamos
.
Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo para a integral definida:
E como
, obtemos
Passo 5
Interpretação final e dicas para prova.
- O resultado é limpo: a área da região pedida é
. - Observação rápida: se
(onde é a base do logaritmo natural), então . Isso é um bom cheque numérico. - Dica para prova: quando vir
integre lembrando que a antiderivada é — é uma das integrais imediatas que costumam cair em exercícios rápidos.