Exercício 10. Calcule a área das regiões limitadas por:
e
Passo 1
O enunciado pede para calcular a área da região limitada por:
- o eixo
(ou seja, a reta ); - as retas verticais
e ; - a curva
.
Informações fornecidas:
- A função que delimita a parte superior da região é
. - As fronteiras verticais são
e . - A fronteira inferior é o eixo
, isto é .
O que se pede: encontrar a área da região contida entre essas quatro curvas/retas.
Passo 2
Ideia do método (explicação didática, sem pular etapas):
- Quando uma região no plano é limitada acima por uma função
não-negativa ( ) e abaixo pelo eixo , entre e , a área dessa região é dada pela integral definida
- Intuição rápida: dividir o intervalo
em muitas fatias finas de largura . Em cada fatia, a altura aproximada é e a área aproximada é . Somando todas e fazendo as fatias ficarem infinitamente finas chega-se ao conceito de integral (soma de Riemann). - Aqui
e como para , podemos aplicar essa fórmula com e .
Passo 3
Escrever a integral que representa a área:
Observação:
, o que facilita o uso da regra de potências para integrar.
Passo 4
Calcular uma primitiva (antiderivada) de
— aula rápida sobre a regra de potências:
- Regra de potências para integrais indefinidas: para
,
onde
é a constante de integração.
- Aplicando com
:
Aqui
é a variável de integração;
significa
ou
.
Passo 5
Usar o Teorema Fundamental do Cálculo para avaliar a integral definida:
Passo 6
Avaliar as potências com cuidado (passo a passo):
- Calcular
. Lembrando que . Então
- Calcular
. - Substituindo,
Passo 7
Interpretação final e verificação rápida:
- A área encontrada é
unidades de área. - Em decimal aproximado,
, que faz sentido: a função entre e tem valores entre e , então a área é aproximadamente largura vezes uma altura média entre e , o que dá algo em torno de , perto de .