Exercício 10. Calcule a área das regiões limitadas por:
\operatorname{Eixo}-x, x=1, x=4 e y=\sqrt{x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a área da região limitada por:
  • o eixo x (ou seja, a reta y=0);
  • as retas verticais x=1 e x=4;
  • a curva y=\sqrt{x}.
Informações fornecidas:
  • A função que delimita a parte superior da região é y=\sqrt{x}.
  • As fronteiras verticais são x=1 e x=4.
  • A fronteira inferior é o eixo x, isto é y=0.
O que se pede: encontrar a área da região contida entre essas quatro curvas/retas.

Passo 2

Ideia do método (explicação didática, sem pular etapas):
  • Quando uma região no plano é limitada acima por uma função y=f(x) não-negativa ( f(x)\ge0) e abaixo pelo eixo x, entre x=a e x=b, a área dessa região é dada pela integral definida
\text{Área}=\int_{a}^{b} f(x)\,dx.Á
  • Intuição rápida: dividir o intervalo [a,b] em muitas fatias finas de largura \Delta x. Em cada fatia, a altura aproximada é f(x) e a área aproximada é f(x)\Delta x. Somando todas e fazendo as fatias ficarem infinitamente finas chega-se ao conceito de integral (soma de Riemann).
  • Aqui f(x)=\sqrt{x} e como \sqrt{x}\ge0 para x\in[1,4], podemos aplicar essa fórmula com a=1 e b=4.

Passo 3

Escrever a integral que representa a área:
\text{Área}=\int_{1}^{4} \sqrt{x}\,dx.Á
Observação: \sqrt{x}=x^{1/2}, o que facilita o uso da regra de potências para integrar.

Passo 4

Calcular uma primitiva (antiderivada) de x^{1/2} — aula rápida sobre a regra de potências:
  • Regra de potências para integrais indefinidas: para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,
onde C é a constante de integração.
  • Aplicando com n=\tfrac{1}{2}:
\int x^{1/2}\,dx=\frac{x^{1/2+1}}{1/2+1}+C=\frac{x^{3/2}}{3/2}+C=\frac{2}{3}x^{3/2}+C.
Aqui x é a variável de integração; x^{3/2} significa (\sqrt{x})^{3} ou \sqrt{x^3}.

Passo 5

Usar o Teorema Fundamental do Cálculo para avaliar a integral definida:
\int_{1}^{4} \sqrt{x}\,dx=\left.\frac{2}{3}x^{3/2}\right|_{1}^{4}=\frac{2}{3}\bigl(4^{3/2}-1^{3/2}\bigr).

Passo 6

Avaliar as potências com cuidado (passo a passo):
  • Calcular 4^{3/2}. Lembrando que x^{3/2}=(x^{1/2})^{3}=(\sqrt{x})^{3}. Então
4^{3/2}=(\sqrt{4})^{3}=2^{3}=8.
  • Calcular 1^{3/2}=1.
  • Substituindo,
\frac{2}{3}\bigl(4^{3/2}-1^{3/2}\bigr)=\frac{2}{3}(8-1)=\frac{2}{3}\cdot 7=\frac{14}{3}.

Passo 7

Interpretação final e verificação rápida:
  • A área encontrada é \dfrac{14}{3} unidades de área.
  • Em decimal aproximado, \dfrac{14}{3}\approx 4{,}666\ldots, que faz sentido: a função \sqrt{x} entre 1 e 4 tem valores entre 1 e 2, então a área é aproximadamente largura (4-1)=3 vezes uma altura média entre 1 e 2, o que dá algo em torno de 3\cdot1{,}5=4{,}5, perto de 4{,}666.

Resposta

\dfrac{14}{3}

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