Exercício 9. Calcule as integrais definidas:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas e objetivo:
- A função integranda é
. - O intervalo de integração é de
até , onde é a base dos logaritmos naturais (aproximadamente ). - A tarefa é encontrar o valor numérico da integral definida.
Passo 2
Ideia geral (explicação do que vamos usar): para calcular uma integral definida costuma-se encontrar uma primitiva (antiderivada)
da função integranda
, ou seja, uma função
tal que
. Depois aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo que diz:
desde que
seja contínua em
. Aqui
é contínua em
(porque não há problema no ponto
que está fora do intervalo), então esse procedimento vale.
Passo 3
Encontrar a primitiva de
. Uma função muito conhecida cuja derivada é
(para
) é o logaritmo natural
. Para ver isso de forma clara:
- Seja
. Então (porque é a função inversa de ). - Diferenciando
em relação a (tratando como função de ) obtemos . - Como
, segue que , portanto . - Como
, concluímos que para .
Observação sobre valores negativos: a primitiva geral da função
em intervalos que contêm números negativos é
, porque
para
. No nosso caso o intervalo
é todo positivo, então podemos usar simplesmente
.
Passo 4
Aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo com a primitiva
. Assim
Passo 5
Calcular
e
:
- Por definição da função logaritmo natural,
porque . - Também
porque .
Passo 6
Substituindo os valores:
Interpretação rápida: a área sob a curva
entre
e
vale
.