Exercício 9. Calcule as integrais definidas:
\int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{1}^{e} \frac{1}{x}\,dx.
Informações dadas e objetivo:
  • A função integranda é \dfrac{1}{x}.
  • O intervalo de integração é de x=1 até x=e, onde e é a base dos logaritmos naturais (aproximadamente 2,718\ldots).
  • A tarefa é encontrar o valor numérico da integral definida.

Passo 2

Ideia geral (explicação do que vamos usar): para calcular uma integral definida costuma-se encontrar uma primitiva (antiderivada) F da função integranda f, ou seja, uma função F tal que F'(x)=f(x). Depois aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo que diz:
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a),
desde que f seja contínua em [a,b]. Aqui f(x)=\dfrac{1}{x} é contínua em [1,e] (porque não há problema no ponto x=0 que está fora do intervalo), então esse procedimento vale.

Passo 3

Encontrar a primitiva de \dfrac{1}{x}. Uma função muito conhecida cuja derivada é \dfrac{1}{x} (para x>0) é o logaritmo natural \ln x. Para ver isso de forma clara:
  • Seja y=\ln x. Então x=e^{y} (porque \ln é a função inversa de e^{x}).
  • Diferenciando x=e^{y} em relação a x (tratando y como função de x) obtemos \dfrac{dx}{dx}=1=\dfrac{d}{dx}\big(e^{y}\big)=e^{y}\dfrac{dy}{dx}.
  • Como e^{y}=x, segue que 1=x\,\dfrac{dy}{dx}, portanto \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{x}.
  • Como y=\ln x, concluímos que \dfrac{d}{dx}(\ln x)=\dfrac{1}{x} para x>0.
Observação sobre valores negativos: a primitiva geral da função \dfrac{1}{x} em intervalos que contêm números negativos é \ln|x|, porque \dfrac{d}{dx}\big(\ln|x|\big)=\dfrac{1}{x} para x\neq0. No nosso caso o intervalo [1,e] é todo positivo, então podemos usar simplesmente F(x)=\ln x.

Passo 4

Aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo com a primitiva F(x)=\ln x. Assim
\int_{1}^{e} \frac{1}{x}\,dx = F(e)-F(1) = \ln e - \ln 1.

Passo 5

Calcular \ln e e \ln 1:
  • Por definição da função logaritmo natural, \ln e = 1 porque e^{1}=e.
  • Também \ln 1 = 0 porque e^{0}=1.

Passo 6

Substituindo os valores:
\int_{1}^{e} \frac{1}{x}\,dx = \ln e - \ln 1 = 1 - 0 = 1.
Interpretação rápida: a área sob a curva y=\dfrac{1}{x} entre x=1 e x=e vale 1.

Resposta

1

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