Exercício 8. Utilize integração por partes para encontrar:
\int x^{3} e^{x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primitiva (integral indefinida)
\int x^{3} e^{x}\,dx.
Informações dadas: é uma integral indefinida de um produto entre um polinômio x^{3} e a exponencial e^{x}. O resultado deve conter a constante de integração C.

Passo 2

Vamos usar a fórmula de integração por partes. Ela vem da regra do produto da derivação. A regra do produto diz que, para duas funções u(x) e v(x),
\frac{d}{dx}\big(u v\big)=u'v+uv'.
Integrando ambos os lados em relação a x e rearranjando obtém-se a fórmula de integração por partes:
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Explicando cada símbolo:
  • u é uma função de x que escolhemos (escolha prática: funções polinomiais costumam ser u);
  • dv é o resto do integrando, escrito como uma diferencial (por ex. e^{x}\,dx);
  • du é a diferencial de u, ou seja du = u'(x)\,dx;
  • v é uma primitiva de dv, ou seja v=\int dv.
Dica de escolha: quando houver um polinômio vezes uma exponencial, escolha u o polinômio (potência que diminui ao derivar) e dv a exponencial (que é simples de integrar).

Passo 3

Aplicando a primeira integração por partes, escolhemos
u = x^{3},\qquad dv = e^{x}\,dx.
Calculemos du e v:
du = 3x^{2}\,dx,\qquad v = \int e^{x}\,dx = e^{x}.
Agora use a fórmula:
\int x^{3} e^{x}\,dx = u v - \int v\,du = x^{3}e^{x} - \int e^{x}\cdot 3x^{2}\,dx.
Fatorando o 3,
\int x^{3} e^{x}\,dx = x^{3}e^{x} - 3\int x^{2} e^{x}\,dx.

Passo 4

Agora precisamos calcular \int x^{2} e^{x}\,dx. Repetimos integração por partes com
u = x^{2},\qquad dv = e^{x}\,dx.
Então
du = 2x\,dx,\qquad v = e^{x}.
Aplicando a fórmula:
\int x^{2} e^{x}\,dx = x^{2}e^{x} - \int e^{x}\cdot 2x\,dx = x^{2}e^{x} - 2\int x e^{x}\,dx.

Passo 5

Falta \int x e^{x}\,dx. Novamente por partes, escolha
u = x,\qquad dv = e^{x}\,dx,
então
du = dx,\qquad v = e^{x}.
Aplicando:
\int x e^{x}\,dx = x e^{x} - \int e^{x}\,dx = x e^{x} - e^{x}.
Fatorando e^{x},
\int x e^{x}\,dx = e^{x}(x-1).

Passo 6

Substituímos esse resultado em \int x^{2} e^{x}\,dx:
\int x^{2} e^{x}\,dx = x^{2}e^{x} - 2\cdot e^{x}(x-1) = e^{x}\big(x^{2} - 2x + 2\big).

Passo 7

Agora voltamos à expressão obtida no Passo 3:
\int x^{3} e^{x}\,dx = x^{3}e^{x} - 3\int x^{2} e^{x}\,dx.
Substituindo \int x^{2} e^{x}\,dx do Passo 6:
\int x^{3} e^{x}\,dx = x^{3}e^{x} - 3\cdot e^{x}\big(x^{2} - 2x + 2\big).
Fatorando e^{x} e simplificando os termos:
\int x^{3} e^{x}\,dx = e^{x}\big(x^{3} - 3x^{2} + 6x - 6\big) + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 8

Verificação rápida (útil na prova): derivando o resultado deve voltar o integrando:
\frac{d}{dx}\Big[e^{x}\big(x^{3} - 3x^{2} + 6x - 6\big)\Big] = e^{x}\big(x^{3} - 3x^{2} + 6x - 6\big) + e^{x}\big(3x^{2} - 6x + 6\big) = e^{x}x^{3},
que coincide com o integrando x^{3}e^{x}. Portanto está correto.

Resposta

e^{x}\big(x^{3} - 3x^{2} + 6x - 6\big) + C

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