Exercício 8. Utilize integração por partes para encontrar:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a primitiva (integral indefinida)
Informações dadas: é uma integral indefinida de um produto entre um polinômio
e a exponencial
. O resultado deve conter a constante de integração
.
Passo 2
Vamos usar a fórmula de integração por partes. Ela vem da regra do produto da derivação. A regra do produto diz que, para duas funções
e
,
Integrando ambos os lados em relação a
e rearranjando obtém-se a fórmula de integração por partes:
Explicando cada símbolo:
-
é uma função de que escolhemos (escolha prática: funções polinomiais costumam ser ); -
é o resto do integrando, escrito como uma diferencial (por ex. ); -
é a diferencial de , ou seja ; -
é uma primitiva de , ou seja .
Dica de escolha: quando houver um polinômio vezes uma exponencial, escolha
o polinômio (potência que diminui ao derivar) e
a exponencial (que é simples de integrar).
Passo 3
Aplicando a primeira integração por partes, escolhemos
Calculemos
e
:
Agora use a fórmula:
Fatorando o
,
Passo 4
Agora precisamos calcular
. Repetimos integração por partes com
Então
Aplicando a fórmula:
Passo 5
Falta
. Novamente por partes, escolha
então
Aplicando:
Fatorando
,
Passo 6
Substituímos esse resultado em
:
Passo 7
Agora voltamos à expressão obtida no Passo 3:
Substituindo
do Passo 6:
Fatorando
e simplificando os termos:
onde
é a constante de integração.
Passo 8
Verificação rápida (útil na prova): derivando o resultado deve voltar o integrando:
que coincide com o integrando
. Portanto está correto.