Exercício 11. Dada a hélice circular \vec{r}=a \cos (t) \vec{i}+ a \operatorname{sen}(t) \vec{j}+c t \vec{k}, t \geq 0, a>0. Dado uma a constante, calcule os valores de c para que a torção seja máxima e mínima.

Passo 1

O enunciado dá a hélice circular
\vec r(t)=a\cos(t)\,\vec i + a\sin(t)\,\vec j + c\,t\,\vec k,
com a>0 fixo e pede os valores de c que tornam a torção \tau extrema. Vamos usar a fórmula da torção de uma curva no espaço:
\tau=\frac{(\vec r'\times\vec r'')\cdot\vec r'''}{\|\vec r'\times\vec r''\|^2}.

Passo 2

Calculemos as derivadas:
\vec r'(t)=(-a\sin t)\,\vec i + (a\cos t)\,\vec j + c\,\vec k,
\vec r''(t)=(-a\cos t)\,\vec i + (-a\sin t)\,\vec j + 0\,\vec k,
\vec r'''(t)=(a\sin t)\,\vec i + (-a\cos t)\,\vec j + 0\,\vec k.

Passo 3

Primeiro o produto vetorial:
\vec r'\times\vec r'' = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k\\\\ -a\sin t & a\cos t & c\\\\ -a\cos t & -a\sin t & 0 \end{vmatrix} = a c\sin t\,\vec i - a c\cos t\,\vec j + a^2\,\vec k.
O produto escalar com \vec r''' é
(\vec r'\times\vec r'')\cdot\vec r''' = (a c\sin t)(a\sin t)+(-a c\cos t)(-a\cos t)+a^2\cdot0 = a^2c(\sin^2t+\cos^2t)=a^2c.
O quadrado da norma de \vec r'\times\vec r'' é
\|\vec r'\times\vec r''\|^2 =(a c\sin t)^2+(-a c\cos t)^2+(a^2)^2 =a^2c^2+a^4.

Passo 4

Substituindo na fórmula da torção obtemos
\tau=\frac{a^2c}{a^2c^2+a^4} =\frac{c}{c^2+a^2}.
Portanto \tau depende apenas de c (e de a fixo).

Passo 5

Para achar extremos de \tau\text{(c)}=c/(c^2+a^2), derivamos em relação a c:
\tau'\text{(c)} =\frac{(c^2+a^2)\cdot1 - c\cdot2c}{(c^2+a^2)^2} =\frac{a^2-c^2}{(c^2+a^2)^2}.
Fazendo \tau'\text{(c)}=0 vem
a^2-c^2=0 \quad\Rightarrow\quad c=\pm a.

Passo 6

Para c=a temos
\tau(a)=\frac{a}{a^2+a^2}=\frac1{2a},
que é o valor máximo, pois \tau'\text{(c)}>0 para |c|<a e \tau'\text{(c)}<0 para |c|>a.
Para c=-a temos
\tau(-a)=\frac{-a}{a^2+a^2}=-\frac1{2a},
que é o valor mínimo.

Resposta

Para a>0 fixo, a torção atinge o máximo quando
c=a \quad(\tau_{\max}=1/(2a)),
e atinge o mínimo quando
c=-a \quad(\tau_{\min}=-1/(2a)).

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