Exercício 11. Dada a hélice circular \vec{r}=a \cos (t) \vec{i}+ a \operatorname{sen}(t) \vec{j}+c t \vec{k}, t \geq 0, a>0. Dado uma a constante, calcule os valores de c para que a torção seja máxima e mínima.
Passo 1
O enunciado dá a hélice circular
\vec r(t)=a\cos(t)\,\vec i + a\sin(t)\,\vec j + c\,t\,\vec k,
com a>0 fixo e pede os valores de c que tornam a torção \tau extrema. Vamos usar a fórmula da torção de uma curva no espaço:
\vec r'''(t)=(a\sin t)\,\vec i + (-a\cos t)\,\vec j + 0\,\vec k.
Passo 3
Primeiro o produto vetorial:
\vec r'\times\vec r'' = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k\\\\ -a\sin t & a\cos t & c\\\\ -a\cos t & -a\sin t & 0 \end{vmatrix} = a c\sin t\,\vec i - a c\cos t\,\vec j + a^2\,\vec k.