Quais das igualdades abaixo são verdadeiras?
a) \{a, a, a, b, b\}=\{a, b\}
b) \left\{x \mid x^{2}=4\right\}=\left\{x \mid x \neq 0 e x^{3}-4 x=0\right\}
c) \{x \mid 2 x+7=11\}=\{2\}
d) \{x \mid x<0 e x \geqslant 0\}=\varnothing

Passo 1

O enunciado pede para verificar, usando o princípio de extensionalidade (dois conjuntos são iguais se têm os mesmos elementos), quais das quatro igualdades de conjuntos são verdadeiras. Vamos examinar cada item identificando explicitamente os elementos de cada lado.

Passo 2

No item a temos
\{a,a,a,b,b\}
e
\{a,b\}.
Por definição de conjunto, repetições não importam, pois um conjunto só “guarda” cada elemento uma vez. Portanto
\{a,a,a,b,b\} = \{a,b\}.

Passo 3

No item b comparamos
\{x \mid x^{2}=4\}
com
\{x \mid x\neq 0 \text{ e } x^{3}-4x=0\}.
Resolvendo x^2=4 obtém-se x=\pm2, logo o primeiro conjunto é \{-2,2\}.
Para o segundo, x^3-4x = x(x^2-4)=0 x=0,2,-2, mas exigimos x\neq0, sobrando também \{-2,2\}.
Assim ambos os lados são \{-2,2\} e a igualdade é verdadeira.

Passo 4

No item c temos
\{x\mid 2x+7=11\}.
Resolvendo 2x+7=11 vem 2x=4 e x=2, de modo que
\{x\mid 2x+7=11\} = \{2\},
o que coincide com o conjunto do lado direito.

Passo 5

No item d o conjunto é
\{x\mid x<0 \text{ e } x\ge 0\}.
Não existe número real que seja simultaneamente menor que zero e maior ou igual a zero, logo esse conjunto não tem elementos e é igual a \varnothing.

Resposta

a), b), c) e d) são verdadeiras.

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