Exercício 10. Calcule os limites a seguir, utilizando manipulações algébricas para eliminar eventuais indeterminações:
Passo 1
O enunciado pede: calcular o limite
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A função em questão é
. - O ponto para o qual nos aproximamos é
. - A raiz quadrada exige que a expressão dentro dela seja não negativa, portanto a função só está definida onde
(isso é relevante para entender de quais pontos podemos nos aproximar). - Note que o valor das expressões em
são números simples: avaliado em dá e avaliado em dá . Essas são observações úteis, mas a resolução algébrica começa no Passo 2.
Passo 2
Verificação rápida de indeterminação por substituição direta (apenas para checar): substituir
em
dá
, ou seja uma razão bem definida. Mesmo assim, vamos fazer a manipulação algébrica pedida (racionalização) para “eliminar eventuais indeterminações” e reescrever a expressão de forma mais clara perto de
.
Explicação do método que vamos usar (racionalização): quando aparece uma expressão do tipo
no denominador, uma técnica padrão é multiplicar numerador e denominador pelo conjugado
. Isso não altera o valor (pois estamos multiplicando por
), e no denominador surge a diferença de quadrados que elimina a raiz, ficando algo em termos de
(mais fácil de simplificar).
Passo 3
Aplicando a racionalização ao nosso caso: multiplicamos numerador e denominador por
. Escrevendo passo a passo,
Passo 4
Calculemos o denominador usando a diferença de quadrados:
Portanto a fração fica
Agora observamos que é possível cancelar o fator
desde que
(quando
a expressão original não é bem definida porque o denominador seria zero). Como estamos interessados em pontos próximos de
, onde
é pequeno (em particular diferente de
), esse cancelamento é legítimo para todo ponto de interesse. Após o cancelamento obtemos
para todos os pontos do domínio com
. Em particular, numa vizinhança de
dentro do domínio (onde
e muito longe de
), a função coincide com
.
Passo 5
Agora que a função foi reescrita como
perto de
, podemos usar que a função
é contínua em
. Para limites em várias variáveis, a composição de funções contínuas é contínua, então
Isto mostra que a expressão original, onde definida perto de
, tem limite
quando
. Observação: a função original também está definida em
e vale
ali, logo é contínua naquele ponto.
Passo 6
Sumarizando a estratégia aprendida: ao encontrar uma raiz no denominador, multiplicar por seu conjugado transforma a expressão numérica em algo sem raiz no denominador, permitindo cancelamentos e uso direto da continuidade para avaliar o limite. Esse procedimento é prático na prova porque evita considerar caminhos separados e lida com a indeterminação algébrica de forma sistemática.