Exercício 10. Calcule os limites a seguir, utilizando manipulações algébricas para eliminar eventuais indeterminações:
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x+y-4}{\sqrt{x+y}-2}

Passo 1

O enunciado pede: calcular o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x+y-4}{\sqrt{x+y}-2}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função em questão é f(x,y)=\dfrac{x+y-4}{\sqrt{x+y}-2}.
  • O ponto para o qual nos aproximamos é (0,0).
  • A raiz quadrada exige que a expressão dentro dela seja não negativa, portanto a função só está definida onde x+y\ge 0 (isso é relevante para entender de quais pontos podemos nos aproximar).
  • Note que o valor das expressões em (0,0) são números simples: x+y-4 avaliado em (0,0) -4 e \sqrt{x+y}-2 avaliado em (0,0) -2. Essas são observações úteis, mas a resolução algébrica começa no Passo 2.

Passo 2

Verificação rápida de indeterminação por substituição direta (apenas para checar): substituir (x,y)=(0,0) em f \dfrac{-4}{-2}, ou seja uma razão bem definida. Mesmo assim, vamos fazer a manipulação algébrica pedida (racionalização) para “eliminar eventuais indeterminações” e reescrever a expressão de forma mais clara perto de (0,0).
Explicação do método que vamos usar (racionalização): quando aparece uma expressão do tipo \sqrt{u}-a no denominador, uma técnica padrão é multiplicar numerador e denominador pelo conjugado \sqrt{u}+a. Isso não altera o valor (pois estamos multiplicando por 1), e no denominador surge a diferença de quadrados que elimina a raiz, ficando algo em termos de u (mais fácil de simplificar).

Passo 3

Aplicando a racionalização ao nosso caso: multiplicamos numerador e denominador por \sqrt{x+y}+2. Escrevendo passo a passo,
\frac{x+y-4}{\sqrt{x+y}-2} = \frac{(x+y-4)(\sqrt{x+y}+2)}{(\sqrt{x+y}-2)(\sqrt{x+y}+2)}.

Passo 4

Calculemos o denominador usando a diferença de quadrados:
(\sqrt{x+y}-2)(\sqrt{x+y}+2)=(\sqrt{x+y})^2-2^2=x+y-4.
Portanto a fração fica
\frac{(x+y-4)(\sqrt{x+y}+2)}{x+y-4}.
Agora observamos que é possível cancelar o fator x+y-4 desde que x+y-4\neq0 (quando x+y=4 a expressão original não é bem definida porque o denominador seria zero). Como estamos interessados em pontos próximos de (0,0), onde x+y é pequeno (em particular diferente de 4), esse cancelamento é legítimo para todo ponto de interesse. Após o cancelamento obtemos
\frac{x+y-4}{\sqrt{x+y}-2}=\sqrt{x+y}+2
para todos os pontos do domínio com x+y\neq4. Em particular, numa vizinhança de (0,0) dentro do domínio (onde x+y\ge0 e muito longe de 4), a função coincide com \sqrt{x+y}+2.

Passo 5

Agora que a função foi reescrita como g(x,y)=\sqrt{x+y}+2 perto de (0,0), podemos usar que a função \sqrt{\cdot} é contínua em [0,\infty). Para limites em várias variáveis, a composição de funções contínuas é contínua, então
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \bigl(\sqrt{x+y}+2\bigr)=\sqrt{0}+2=2.
Isto mostra que a expressão original, onde definida perto de (0,0), tem limite 2 quando (x,y)\to(0,0). Observação: a função original também está definida em (0,0) e vale 2 ali, logo é contínua naquele ponto.

Passo 6

Sumarizando a estratégia aprendida: ao encontrar uma raiz no denominador, multiplicar por seu conjugado transforma a expressão numérica em algo sem raiz no denominador, permitindo cancelamentos e uso direto da continuidade para avaliar o limite. Esse procedimento é prático na prova porque evita considerar caminhos separados e lida com a indeterminação algébrica de forma sistemática.

Resposta

2

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