Exercício 9. Considere f(x, y)=\frac{x^{2} y}{x^{2}-y^{2}}.
a) Determine o conjunto de nível N_{1} de f.
b) Decida se existe \lim _{(x, y) \rightarrow 0,0)} f(x, y).

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=\dfrac{x^{2}y}{x^{2}-y^{2}} (definida onde o denominador não é zero) e pede duas coisas:
  • (a) determinar o conjunto de nível N_{1}=\{(x,y)\mid f(x,y)=1\};
  • (b) decidir se existe \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A fórmula explícita de f é \displaystyle f(x,y)=\frac{x^{2}y}{x^{2}-y^{2}}.
  • A função não está definida quando x^{2}-y^{2}=0, ou seja, sobre as retas y=\pm x.
  • Para responder (a) precisamos resolver a equação f(x,y)=1 respeitando a restrição x^{2}\neq y^{2}.
  • Para responder (b) precisamos analisar o comportamento de f(x,y) quando (x,y) se aproxima de (0,0) por caminhos diferentes.

Passo 2

Resolver a equação f(x,y)=1. Começo escrevendo a equação e trazendo todos os termos para um lado:
\frac{x^{2}y}{x^{2}-y^{2}}=1
Multiplico ambos os lados por x^{2}-y^{2} (lembrando que isso só é válido quando x^{2}-y^{2}\neq0):
x^{2}y = x^{2}-y^{2}.
Reorganizando todos os termos em forma polinomial em y:
y^{2}+x^{2}y - x^{2} = 0.
Esta é uma equação quadrática em y. Vou resolver usando a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática).

Passo 3

Aplicar a fórmula quadrática para encontrar y em função de x. Para a quadrática
y^{2} + x^{2}y - x^{2} = 0
os coeficientes são A=1, B=x^{2}, C=-x^{2}. O discriminante é
\Delta = B^{2}-4AC = x^{4} - 4(1)(-x^{2}) = x^{4}+4x^{2}=x^{2}(x^{2}+4).
Como \Delta\ge0 para todo x, as raízes reais são
y = \frac{-x^{2}\pm \sqrt{x^{4}+4x^{2}}}{2} = \frac{-x^{2}\pm x\sqrt{x^{2}+4}}{2}.
Posso também escrever isso como
y = x\cdot\frac{-x\pm \sqrt{x^{2}+4}}{2}.

Passo 4

Tratar casos degenerados e a restrição do domínio. Observe:
  • Se x=0, a fórmula das raízes dá y=0. Mas nesse caso x^{2}-y^{2}=0 e a função não está definida em (0,0). Logo (0,0) não pertence a N_{1}.
  • Verificar se alguma solução encontrada produz x^{2}=y^{2} (o que invalidaria a multiplicação inicial). Substituindo y=\pm x na equação quadrática dá x^{3}=0, então isso só ocorre em x=0, caso já excluído. Portanto, para x\neq0 as raízes acima não violam x^{2}\neq y^{2}.
Concluo que o conjunto de nível N_{1} consiste das duas curvas dadas pelas duas raízes para todo x\neq0:
N_{1}=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\\ \middle|\\ x\neq0,\\ y=\frac{-x^{2}\pm x\sqrt{x^{2}+4}}{2}\right\}.
Observação prática: perto da origem essas duas curvas têm comportamento assintótico y\approx \pm x (isto é, aproximam-se das retas y=\pm x quando x\to0), mas não coincidem com elas porque a função não é definida exatamente nessas retas.

Passo 5

Analisar a existência do limite \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y). Lembrando a definição intuitiva: o limite existe se e somente se o valor de f(x,y) quando (x,y) se aproxima de (0,0) for o mesmo independente do caminho seguido. Vou mostrar dois tipos de caminhos que dão limites diferentes, provando que o limite não existe.
Primeiro, calcule a aproximação por retas que passam pela origem: tome y=m x com m constante e m\neq\pm1 (para evitar o denominador zero). Então
f(x,mx)=\frac{x^{2}(m x)}{x^{2}-(m x)^{2}} =\frac{m x^{3}}{x^{2}(1-m^{2})} =\frac{m x}{1-m^{2}}.
Ao fazermos x\to0 mantendo m fixo, obtemos
\lim_{x\to0} f(x,mx)=0.
Ou seja, por qualquer reta y=mx com m\neq\pm1 o limite é 0.
Agora mostro um caminho que dá um limite diferente de 0. Considere curvas que se aproximam muito de y=x mas que mantenham x^{2}-y^{2}\neq0; uma boa escolha é
y = x + t x^{2},
com t\neq0 constante. Para esse caminho calculo exatamente f. Primeiro o numerador:
x^{2}y = x^{2}(x+t x^{2}) = x^{3} + t x^{4}.
O denominador:
x^{2}-y^{2}=x^{2}-(x+t x^{2})^{2} = x^{2}-\bigl(x^{2}+2t x^{3}+t^{2}x^{4}\bigr) = -2t x^{3} - t^{2} x^{4}.
Assim
f\bigl(x,\,x+t x^{2}\bigr) = \frac{x^{3}(1+t x)}{x^{3}(-2t - t^{2}x)} = \frac{1+t x}{-2t - t^{2}x} = -\frac{1+t x}{t(2 + t x)}.
Tomando x\to0 (com t fixo e t\neq0) obtemos
\lim_{x\to0} f\bigl(x,\,x+t x^{2}\bigr) = -\frac{1}{2t}.
Este valor depende de t. Por exemplo, se t=1 o limite ao longo dessa curva é -\tfrac{1}{2}; se t=2 é -\tfrac{1}{4}. Esses valores são diferentes de 0 (o limite obtido ao longo das retas y=mx). Portanto há caminhos que aproximam a origem dando limites distintos.

Passo 6

Conclusão sobre a existência do limite: como existem caminhos que dão limites diferentes (por exemplo, por retas y=mx com limite 0 e por curvas y=x+t x^{2} com limite -\tfrac{1}{2t}, que depende de t), o limite \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) NÃO existe.

Resposta

(a) N_{1}=\displaystyle\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\\ \middle|\\ x\neq0,\\ y=\frac{-x^{2}\pm x\sqrt{x^{2}+4}}{2}\right\}.
(b) O limite \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) não existe.

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