Exercício 9. Considere f(x, y)=\frac{x^{2} y}{x^{2}-y^{2}}.
a) Determine o conjunto de nível N_{1} de f.
b) Decida se existe \lim _{(x, y) \rightarrow 0,0)} f(x, y).
Passo 1
O enunciado dá a função f(x,y)=\dfrac{x^{2}y}{x^{2}-y^{2}} (definida onde o denominador não é zero) e pede duas coisas:
(a) determinar o conjunto de nível N_{1}=\{(x,y)\mid f(x,y)=1\};
(b) decidir se existe \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
A fórmula explícita de f é \displaystyle f(x,y)=\frac{x^{2}y}{x^{2}-y^{2}}.
A função não está definida quando x^{2}-y^{2}=0, ou seja, sobre as retas y=\pm x.
Para responder (a) precisamos resolver a equação f(x,y)=1 respeitando a restrição x^{2}\neq y^{2}.
Para responder (b) precisamos analisar o comportamento de f(x,y) quando (x,y) se aproxima de (0,0) por caminhos diferentes.
Passo 2
Resolver a equação f(x,y)=1. Começo escrevendo a equação e trazendo todos os termos para um lado:
\frac{x^{2}y}{x^{2}-y^{2}}=1
Multiplico ambos os lados por x^{2}-y^{2} (lembrando que isso só é válido quando x^{2}-y^{2}\neq0):
x^{2}y = x^{2}-y^{2}.
Reorganizando todos os termos em forma polinomial em y:
y^{2}+x^{2}y - x^{2} = 0.
Esta é uma equação quadrática em y. Vou resolver usando a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática).
Passo 3
Aplicar a fórmula quadrática para encontrar y em função de x. Para a quadrática
y^{2} + x^{2}y - x^{2} = 0
os coeficientes são A=1, B=x^{2}, C=-x^{2}. O discriminante é
y = \frac{-x^{2}\pm \sqrt{x^{4}+4x^{2}}}{2} = \frac{-x^{2}\pm x\sqrt{x^{2}+4}}{2}.
Posso também escrever isso como
y = x\cdot\frac{-x\pm \sqrt{x^{2}+4}}{2}.
Passo 4
Tratar casos degenerados e a restrição do domínio. Observe:
Se x=0, a fórmula das raízes dá y=0. Mas nesse caso x^{2}-y^{2}=0 e a função não está definida em (0,0). Logo (0,0) não pertence a N_{1}.
Verificar se alguma solução encontrada produz x^{2}=y^{2} (o que invalidaria a multiplicação inicial). Substituindo y=\pm x na equação quadrática dá x^{3}=0, então isso só ocorre em x=0, caso já excluído. Portanto, para x\neq0 as raízes acima não violam x^{2}\neq y^{2}.
Concluo que o conjunto de nível N_{1} consiste das duas curvas dadas pelas duas raízes para todo x\neq0:
Observação prática: perto da origem essas duas curvas têm comportamento assintótico y\approx \pm x (isto é, aproximam-se das retas y=\pm x quando x\to0), mas não coincidem com elas porque a função não é definida exatamente nessas retas.
Passo 5
Analisar a existência do limite \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y). Lembrando a definição intuitiva: o limite existe se e somente se o valor de f(x,y) quando (x,y) se aproxima de (0,0) for o mesmo independente do caminho seguido. Vou mostrar dois tipos de caminhos que dão limites diferentes, provando que o limite não existe.
Primeiro, calcule a aproximação por retas que passam pela origem: tome y=m x com m constante e m\neq\pm1 (para evitar o denominador zero). Então
Ou seja, por qualquer reta y=mx com m\neq\pm1 o limite é 0.
Agora mostro um caminho que dá um limite diferente de 0. Considere curvas que se aproximam muito de y=x mas que mantenham x^{2}-y^{2}\neq0; uma boa escolha é
y = x + t x^{2},
com t\neq0 constante. Para esse caminho calculo exatamente f. Primeiro o numerador:
Este valor depende de t. Por exemplo, se t=1 o limite ao longo dessa curva é -\tfrac{1}{2}; se t=2 é -\tfrac{1}{4}. Esses valores são diferentes de 0 (o limite obtido ao longo das retas y=mx). Portanto há caminhos que aproximam a origem dando limites distintos.
Passo 6
Conclusão sobre a existência do limite: como existem caminhos que dão limites diferentes (por exemplo, por retas y=mx com limite 0 e por curvas y=x+t x^{2} com limite -\tfrac{1}{2t}, que depende de t), o limite \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) NÃO existe.