(P2) A posição de uma partícula movendo-se no eixo x é dada por x= * 20 pontos 12,0 t^wed>= 2-2,00 t^wed>= 3 onde x está em metros e t em segundos. Determine: (a) a posição, (b) a velocidade e (c) a aceleração da partícula em t=3,75 s. (d) Qual é a coordenada positiva máxima alcançada pela partícula e em que instante de tempo ela é alcançada. (e) Qual é a velocidade positiva máxima alcançada pela partícula e em que instante de tempo ela é alcançada? f) Qual é a aceleração da partícula no instante em que ela não está se movendo (além do instante t=0 )?

Passo 1

O enunciado dá a lei horária de posição da partícula ao longo do eixo x:
x(t)=12,0,t^2-2,00,t^3,
com x em metros e t em segundos. Queremos (a) a posição, (b) a velocidade e (c) a aceleração em t=3,75,s; (d) a coordenada máxima positiva e seu instante; (e) a velocidade máxima positiva e seu instante; (f) a aceleração no instante em que a partícula está momentaneamente parada (além de t=0). Para isso vamos usar derivadas de x(t) para obter v(t) e a(t) e depois resolver equações para extremos.

Passo 2

Derivando x(t) em relação a t obtemos a velocidade e, em seguida, a aceleração:
v(t)=dxdt=24,0,t-6,00,t^2,
a(t)=dvdt=24,0-12,0,t

Passo 3

Substituindo t=3,75,s em x(t), v(t) e a(t):
x(3,75)=12,0,(3,75)^2-2,00,(3,75)^3 =63,28 m
v(3,75)=24,0cdot3,75-6,00,(3,75)^2 =5,63 m/s
a(3,75)=24,0-12,0cdot3,75 =-21,0 m/s^2

Passo 4

A coordenada máxima ocorre quando v(t)=0. Da equação
24,0,t-6,00,t^2=0implies t(24,0-6,00,t)=0
além de t=0 vem t=4,00,s. Substituindo em x(t):
x(4,00)=12,0cdot(4,00)^2-2,00cdot(4,00)^3 =64,0 m

Passo 5

A velocidade máxima positiva ocorre quando a(t)=0, ou seja
24,0-12,0,t=0implies t=2,00 s
Então
v(2,00)=24,0cdot2,00-6,00,(2,00)^2 =24,0 m/s

Passo 6

O instante em que a partícula está parada (além de t=0) já foi encontrado em t=4,00,s. A aceleração nesse instante é
a(4,00)=24,0-12,0cdot4,00 =-24,0 m/s^2

Resposta

(a) x(3,75)=63,28 m
(b) v(3,75)=5,63 m/s
(c) a(3,75)=-21,0 m/s^2
(d) xmax=64,0 m em t=4,00,s
(e) vmax=24,0 m/s em t=2,00,s
(f) a(4,00)=-24,0 m/s^2

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