Questão 6. Encontre a série de MacLaurin de f(x)=\int_{0}^{x} e^{-t^{2}} d t.
Justifique

Passo 1

O enunciado pede a série de Maclaurin de
f(x)=\int_{0}^{x}e^{-t^{2}}\,dt.
Para isso vamos usar o desenvolvimento em série de Maclaurin de e^{u} com u=-t^{2} e depois integrar termo a termo, justificando a troca de soma e integral pela convergência uniforme em intervalos compactos.

Passo 2

Relembrando a série de Maclaurin de e^{u}:
e^{u}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{u^{n}}{n!}.
Substituindo u=-t^{2} obtemos
e^{-t^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}\,t^{2n}}{n!}.

Passo 3

A série acima converge uniformemente em qualquer intervalo [0,X], logo podemos integrar termo a termo em \int_{0}^{x}e^{-t^{2}}\,dt. Assim
f(x)=\int_{0}^{x}e^{-t^{2}}\,dt =\int_{0}^{x}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}t^{2n}}{n!}\,dt =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n!}\int_{0}^{x}t^{2n}\,dt.

Passo 4

Calculando \displaystyle\int_{0}^{x}t^{2n}\,dt=\frac{x^{2n+1}}{2n+1}, vem
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n!}\,\frac{x^{2n+1}}{2n+1} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}\,x^{2n+1}}{(2n+1)\,n!}.

Resposta

f(x)=\int_{0}^{x}e^{-t^{2}}\,dt =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}\,x^{2n+1}}{(2n+1)\,n!}.

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