Questão 5. Encontre o centro e o raio de convergência da séries de potências
\sum e^{-n}(x-3)^{2 n}
Justifique

Passo 1

O enunciado apresenta a série de potências
\sum_{n=0}^{\infty}e^{-n}(x-3)^{2n}
e pede para encontrar o centro e o raio de convergência. Isso envolve reconhecer o tipo de série (aqui, uma série geométrica em (x-3)^2) e aplicar o critério de convergência adequado para séries geométricas ou o teste da raiz.

Passo 2

Reescrevemos a série em termos de y=(x-3)^2:
\sum_{n=0}^{\infty}e^{-n}(x-3)^{2n} =\sum_{n=0}^{\infty}\bigl((x-3)^2e^{-1}\bigr)^{n}.
Uma série geométrica \sum_{n=0}^{\infty}r^n converge se, e somente se, \lvert r\rvert<1. Aqui o termo geral é
r=(x-3)^2e^{-1},
logo a condição de convergência é
\bigl\lvert(x-3)^2e^{-1}\bigr\rvert<1.

Passo 3

Da condição
\lvert(x-3)^2\rvert<e
seguimos que
\lvert x-3\rvert^2<e \quad\Longrightarrow\quad \lvert x-3\rvert<\sqrt{e}.
Portanto o raio de convergência é \sqrt{e}. Como a série está em potências de (x-3), o centro é 3.

Resposta

O centro de convergência é 3 e o raio de convergência é \sqrt{e}.

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