Exercício 10: Um cometa que foi visto em abril de 574 por astrônomos chineses, em um dia conhecido como Woo Woo, foi avistado novamente em maio de 1994. Suponha que o intervalo de tempo entre as observações seja o período do cometa e tome a excentricidade da órbita do cometa como de 0,9932 . (a) Qual é o semieixo maior da órbita do cometa e (b) qual a maior distância entre o cometa e o Sol em termos do raio médio da órbita de Plutão, R_{P} ? Respostas: (a) 1,89 \times 10^{13} \mathrm{~m}; (b) 6,4 R_{p}

Passo 1

O enunciado diz que o cometa foi visto em abril de 574 e reapareceu em maio de 1994, logo o período orbital é de aproximadamente 1420 anos. A excentricidade da órbita é e=0,9932. Precisamos (a) do semieixo maior a e (b) da maior distância até o Sol (o afélio) em unidades do raio médio da órbita de Plutão, R_P. Usaremos a terceira lei de Kepler e a definição de afélio.

Passo 2

Primeiro convertemos o período T de anos para segundos. Adotando 1 ano ≃ 365 dias,
T = 1420 \times 365 \times 24 \times 3600 \approx 4{,}48\times10^{10}\\ \text{s}.

Passo 3

Pela terceira lei de Kepler temos
T^2 = \frac{4\pi^2}{G\,M_{\odot}}\,a^3,
onde G=6,674\times10^{-11}\\ \mathrm{m^3\,kg^{-1}\,s^{-2}} e M_{\odot}=1,989\times10^{30}\\ \mathrm{kg}.
Isolando a,
a = \left(\frac{G\,M_{\odot}\,T^2}{4\pi^2}\right)^{1/3} =\left(\frac{1,327\times10^{20}\times(4,48\times10^{10})^2}{4\pi^2}\right)^{1/3} \approx1{,}89\times10^{13}\\ \mathrm{m}.

Passo 4

A maior distância (afélio) é
r_{\max} = a\,(1+e) =1{,}89\times10^{13}\,(1+0,9932) \approx3{,}77\times10^{13}\\ \mathrm{m}.
O semieixo maior de Plutão é cerca de
R_P \approx 39{,}5\\ \mathrm{UA}\times1{,}496\times10^{11}\\ \mathrm{m/UA} \approx5{,}91\times10^{12}\\ \mathrm{m}.
Logo, em unidades de R_P,
\frac{r_{\max}}{R_P} \approx\frac{3,77\times10^{13}}{5,91\times10^{12}} \approx6{,}4.

Resposta

(a) 1,89\times10^{13}\\ \mathrm{m}
(b) 6,4\,R_{P}

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