Exercício 2.10. Considere o campo vetorial \vec{F}(x, y, z)=\left(x y^{2}, 3 z, 5 y\right).
(a) Calcule \operatorname{rot} \vec{F}.
(b) Parametrize a porção do plano x+z=4 limitada pelo cilindro x^{2}+y^{2}=16.
(c) Use o Teorema de Stokes para calcular \int_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r}, onde C é a curva obtida pela interseção entre o plano x+z=4 e o cilindro x^{2}+y^{2}=16, orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial \vec F(x,y,z) = (x y^2,\;3z,\;5y) e pede:
– (a) o rotacional \nabla\times \vec F,
– (b) uma parametrização da porção do plano x+z=4 confinada ao cilindro x^2+y^2=16,
– (c) usar o Teorema de Stokes para calcular \displaystyle\int_C\vec F\cdot d\vec r, onde C é a curva de interseção, orientada anti-horário vista de cima.