Exercício 2.10. Considere o campo vetorial \vec{F}(x, y, z)=\left(x y^{2}, 3 z, 5 y\right).
(a) Calcule \operatorname{rot} \vec{F}.
(b) Parametrize a porção do plano x+z=4 limitada pelo cilindro x^{2}+y^{2}=16.
(c) Use o Teorema de Stokes para calcular \int_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r}, onde C é a curva obtida pela interseção entre o plano x+z=4 e o cilindro x^{2}+y^{2}=16, orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial \vec F(x,y,z) = (x y^2,\;3z,\;5y) e pede:
– (a) o rotacional \nabla\times \vec F,
– (b) uma parametrização da porção do plano x+z=4 confinada ao cilindro x^2+y^2=16,
– (c) usar o Teorema de Stokes para calcular \displaystyle\int_C\vec F\cdot d\vec r, onde C é a curva de interseção, orientada anti-horário vista de cima.

Passo 2

Para achar o rotacional usamos a definição
\nabla\times \vec F =\Bigl(\frac{\partial F_z}{\partial y}-\frac{\partial F_y}{\partial z},\; \frac{\partial F_x}{\partial z}-\frac{\partial F_z}{\partial x},\; \frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y}\Bigr).
Como F_x=xy^2, F_y=3z, F_z=5y, obtemos
\nabla\times \vec F =\bigl(\underbrace{\partial_y(5y)}_{5}-\underbrace{\partial_z(3z)}_{3},\; \underbrace{\partial_z(xy^2)}_{0}-\underbrace{\partial_x(5y)}_{0},\; \underbrace{\partial_x(3z)}_{0}-\underbrace{\partial_y(xy^2)}_{2xy}\bigr) =(2,0,-2xy).

Passo 3

Para parametrizar a porção do plano x+z=4 dentro de x^2+y^2=16, usamos coordenadas polares em x,y:
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,
e da equação do plano vem
z = 4 - x = 4 - r\cos\theta.
Logo a parametrização é
\vec r(r,\theta)=\bigl(r\cos\theta,\;r\sin\theta,\;4 - r\cos\theta\bigr),
com 0\le r\le4, 0\le\theta\le2\pi.

Passo 4

Calculamos os vetores tangentes
\vec r_r=(\cos\theta,\;\sin\theta,\;-\cos\theta),\quad \vec r_\theta=(-r\sin\theta,\;r\cos\theta,\;r\sin\theta)
e o produto vetorial (normal orientado para cima)
\vec r_r\times \vec r_\theta=(r,\,0,\,r).
Assim o elemento de área vetorizado é \bigl(r,0,r\bigr)\,dr\,d\theta.

Passo 5

Pelo Teorema de Stokes
\int_C\vec F\cdot d\vec r =\iint_{S}(\nabla\times \vec F)\cdot d\vec S =\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{4} \bigl(2,0,-2xy\bigr)\!\cdot\!(r,0,r)\,dr\,d\theta.
Na parametrização x=r\cos\theta, y=r\sin\theta, temos
(\nabla\times\vec F)\bigl(\vec r(r,\theta)\bigr)=(2,0,-2r^2\cos\theta\sin\theta),
então o integrando é
2r - 2r^3\cos\theta\sin\theta.
Logo
\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{4}(2r\,dr\,d\theta) -\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{4}2r^3\cos\theta\sin\theta\,dr\,d\theta =32\pi - 0 =32\pi.

Resposta

(a) \nabla\times \vec F=(2,0,-2xy).
(b) \displaystyle\vec r(r,\theta)=(r\cos\theta,\;r\sin\theta,\;4-r\cos\theta), 0\le r\le4, 0\le\theta\le2\pi.
(c) \displaystyle\int_C\vec F\cdot d\vec r=32\pi.

Exercícios relacionados