Exercício 2.9. Calcule o trabalho realizado pelo campo \vec{F}(x, y, z)=(2 y,-z, 2 x) no deslocamento de uma partícula sobre a curva de interseção do cilindro x^{2}+y^{2}=4 com o plano 2 y+z=0, orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.
Passo 1
O enunciado pede o trabalho
\oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec r
onde \vec{F}(x,y,z)=(2y,\,-z,\,2x) e C é a curva de interseção do cilindro x^{2}+y^{2}=4 com o plano 2y+z=0, orientada no sentido anti-horário vista de cima. O conteúdo é integral de linha de campo vetorial, e vamos resolver parametrizando C e calculando diretamente \int\vec{F}(\vec r(t))\cdot \vec r\,'(t)\,dt.
Passo 2
Parametrizamos o cilindro de raio 2\) em projeção no plano \(xy\) com orientação anti-horária vista de cima por
\[\begin{cases}
x(t)=2\cos t,\\\ y(t)=2\sin t,
\end{cases}\qquad t\in[0,2\pi].