Exercício 2.9. Calcule o trabalho realizado pelo campo \vec{F}(x, y, z)=(2 y,-z, 2 x) no deslocamento de uma partícula sobre a curva de interseção do cilindro x^{2}+y^{2}=4 com o plano 2 y+z=0, orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.

Passo 1

O enunciado pede o trabalho
\oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec r
onde \vec{F}(x,y,z)=(2y,\,-z,\,2x) e C é a curva de interseção do cilindro x^{2}+y^{2}=4 com o plano 2y+z=0, orientada no sentido anti-horário vista de cima. O conteúdo é integral de linha de campo vetorial, e vamos resolver parametrizando C e calculando diretamente \int\vec{F}(\vec r(t))\cdot \vec r\,'(t)\,dt.

Passo 2

Parametrizamos o cilindro de raio 2\) em projeção no plano \(xy\) com orientação anti-horária vista de cima por \[\begin{cases} x(t)=2\cos t,\\\ y(t)=2\sin t, \end{cases}\qquad t\in[0,2\pi].
Pelo plano 2y+z=0\] temos \(z=-2y=-4\sin t. Logo
\vec r(t)=\bigl(2\cos t,\;2\sin t,\;-4\sin t\bigr).

Passo 3

Calculamos
\vec r\,'(t)=\bigl(-2\sin t,\;2\cos t,\;-4\cos t\bigr)
e
\vec F\bigl(\vec r(t)\bigr)=\bigl(2y,\,-z,\,2x\bigr)\Big|_{\vec r(t)} =\bigl(4\sin t,\;4\sin t,\;4\cos t\bigr).
O produto escalar é
\vec F(\vec r(t))\cdot \vec r\,'(t) =4\sin t\cdot(-2\sin t)+4\sin t\cdot2\cos t+4\cos t\cdot(-4\cos t).

Passo 4

Simplificando o integrando:
\vec F\cdot\vec r\,'=-8\sin^2t+8\sin t\cos t-16\cos^2t.
Agora integramos de 0 a 2\pi:
\int_{0}^{2\pi}(-8\sin^2t)\,dt=-8\int_{0}^{2\pi}\sin^2t\,dt=-8\pi,
\int_{0}^{2\pi}(-16\cos^2t)\,dt=-16\int_{0}^{2\pi}\cos^2t\,dt=-16\pi,
\int_{0}^{2\pi}8\sin t\cos t\,dt=0.
Somando, o trabalho é
\int_{0}^{2\pi}\vec F\cdot\vec r\,'\,dt=-8\pi-16\pi+0=-24\pi.

Resposta

O trabalho realizado pelo campo ao longo de C é -24\pi.

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