Exercício 2.12. Considere a curva
de interseção do cilindro
com o plano
e o campo
.
(a) Use o Teorema de Stokes para calcular
.
(b) Explicite uma parametrização de
compatível com o vetor normal usado no item anterior.
(a) Use o Teorema de Stokes para calcular
(b) Explicite uma parametrização de
Passo 1
O enunciado pede para calcular
onde é a interseção do cilindro
com o plano
, e
.
O tema é o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de linha de em torno de
com a integral de superfície do rotacional de
em uma superfície
com
.
onde
O tema é o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de linha de
Passo 2
Aplicamos o Teorema de Stokes:
Escolhemos
como a parte do plano
sobre o disco
.
Para que a orientação de seja compatível, usamos o vetor normal ao plano com componente
positiva.
Para que a orientação de
Passo 3
Calculamos o rotacional de
:
Passo 4
Parametrizamos a superfície
por
Então
e o vetor normal orientado é
Passo 5
O integrando fica
Logo
Passo 6
Uma parametrização de
compatível com o normal escolhido (com componente
positiva) é
pois, vistas de cima, estas curvas percorrem o círculo de raio
no sentido anti-horário.
Resposta
(a)
(b)
(b)