Exercício 2.12. Considere a curva C de interseção do cilindro x^{2}+y^{2}=4 com o plano z=x+4 e o campo \vec{F}(x, y, z)=(2 z, 4 x, 5 y).
(a) Use o Teorema de Stokes para calcular \int_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r}.
(b) Explicite uma parametrização de C compatível com o vetor normal usado no item anterior.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\displaystyle \oint_{C}\vec F\cdot d\vec r
onde C é a interseção do cilindro x^{2}+y^{2}=4 com o plano z=x+4, e \vec F(x,y,z)=(2z,4x,5y).
O tema é o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de linha de \vec F em torno de C com a integral de superfície do rotacional de \vec F em uma superfície S com \partial S=C.

Passo 2

Aplicamos o Teorema de Stokes:
\oint_{C}\vec F\cdot d\vec r \;=\;\iint_{S}(\nabla\times\vec F)\cdot\vec n\,dS.
Escolhemos S como a parte do plano z=x+4 sobre o disco D\colon x^{2}+y^{2}\le4.
Para que a orientação de C seja compatível, usamos o vetor normal ao plano com componente z positiva.

Passo 3

Calculamos o rotacional de \vec F:
\nabla\times\vec F =\Bigl(\frac{\partial}{\partial y}(5y)-\frac{\partial}{\partial z}(4x),\; \frac{\partial}{\partial z}(2z)-\frac{\partial}{\partial x}(5y),\; \frac{\partial}{\partial x}(4x)-\frac{\partial}{\partial y}(2z)\Bigr) =(5,2,4).

Passo 4

Parametrizamos a superfície S por
\vec r(x,y)=(x,\,y,\,x+4),\quad (x,y)\in D.
Então
\vec r_{x}=(1,0,1),\quad \vec r_{y}=(0,1,0),
e o vetor normal orientado é
\vec r_{x}\times\vec r_{y}=(-1,0,1).

Passo 5

O integrando fica
(\nabla\times\vec F)\cdot(\vec r_{x}\times\vec r_{y}) =(5,2,4)\cdot(-1,0,1)=-5+0+4=-1.
Logo
\oint_{C}\vec F\cdot d\vec r =\iint_{D}(-1)\,dA =-\iint_{D}1\,dA =-\bigl(\pi\cdot2^{2}\bigr) =-4\pi.

Passo 6

Uma parametrização de C compatível com o normal escolhido (com componente z positiva) é
\vec r(t)=\bigl(2\cos t,\;2\sin t,\;2\cos t+4\bigr), \quad t\in[0,2\pi],
pois, vistas de cima, estas curvas percorrem o círculo de raio 2 no sentido anti-horário.

Resposta

(a) \displaystyle \oint_{C}\vec F\cdot d\vec r=-4\pi.
(b) \displaystyle \vec r(t)=(2\cos t,\,2\sin t,\,2\cos t+4),\;0\le t\le2\pi.

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