Exercício 2.6. Considere a superfície S de equações paramétricas \vec{r}(u, v)=(u v, u+v, u-v), com u^{2}+v^{2} \leq 1.
(a) Mostre que o ponto P(2,3,-1) pertence à superfície.
(b) Encontre uma equação para o plano tangente à superfície nesse ponto.
(c) Encontre uma equação cartesiana para S.
(d) Calcule a área da superfície S.

Passo 1

O enunciado dá a superfície S por
\vec r(u,v) = (\,u\,v,\;u+v,\;u-v\,),
com domínio \{(u,v)\mid u^2+v^2\le1\}.
Precisamos:
(a) mostrar que P(2,3,-1) está na imagem de \vec r;
(b) achar o plano tangente em P;
(c) obter a equação cartesiana de S;
(d) calcular a área de S (isto é, da parte do patch com u^2+v^2\le1).

Passo 2

Para ver se P\) está em \(S\), resolvemos o sistema \[uv = 2, \quad u+v = 3, \quad u-v = -1.
Das duas últimas equações:
\begin{cases} u+v=3,\\\ u-v=-1, \end{cases}
somando dá 2u=2\Rightarrow u=1\], e daí \(v=3-u=2. Verificamos então u\,v=1\cdot2=2.
Logo
\vec r(1,2) = (1\cdot2,\;1+2,\;1-2) = (2,3,-1) = P.
Portanto P pertence à superfície parametrizada.

Passo 3

Para o plano tangente usamos as derivadas parciais em (u_0,v_0)=(1,2):
\vec r_u = \bigl(v,\,1,\,1\bigr), \quad \vec r_v = \bigl(u,\,1,\,-1\bigr).
Em (1,2) temos
\vec r_u(1,2) = (2,1,1), \quad \vec r_v(1,2) = (1,1,-1).
Um vetor normal é
\vec n = \vec r_u\times \vec r_v = \det\begin{pmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k\\\\ 2 & 1 & 1\\\\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix} = (-1-1)\,\mathbf i -(-2-1)\,\mathbf j + (2-1)\,\mathbf k = (-2,\,3,\,1).
A equação do plano tangente em P=(2,3,-1) é
-2\,(x-2) + 3\,(y-3) + 1\,(z+1) = 0,
que pode ser simplificada, por exemplo, para
-2x +4 +3y -9 + z +1 =0 \quad\Longrightarrow\quad -2x +3y + z -4 =0.

Passo 4

Para achar a equação cartesiana de S, note que das componentes
y = u+v, \quad z = u-v
segue
u = \frac{y+z}{2}, \quad v = \frac{y-z}{2}.
Então a primeira componente x = u\,v
x = \frac{y+z}{2}\;\frac{y-z}{2} = \frac{y^2 - z^2}{4},
ou seja
4x = y^2 - z^2.
Essa é a equação cartesiana da superfície.

Passo 5

Para a área de S no disco u^2+v^2\le1 calculamos
E = \vec r_u\!\cdot\!\vec r_u = v^2+2, \quad F = \vec r_u\!\cdot\!\vec r_v = uv, \quad G = \vec r_v\!\cdot\!\vec r_v = u^2+2.
Então o elemento de área é
\sqrt{EG - F^2} = \sqrt{(v^2+2)(u^2+2) - (uv)^2} = \sqrt{2(u^2+v^2+2)} = \sqrt{2}\,\sqrt{u^2+v^2+2}.
Em coordenadas polares u=r\cos\theta, v=r\sin\theta, 0\le r\le1, 0\le\theta\le2\pi, temos
\text{Área} = \iint_{u^2+v^2\le1} \sqrt{EG-F^2}\,du\,dv = \sqrt2 \int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{1} \sqrt{r^2+2}\;r\,dr\,d\theta.Á
Fazendo t=r^2+2, dt=2r\,dr, os limites vão de t(0)=2 a t(1)=3, obtém-se
\text{Área} = \sqrt2\,(2\pi)\,\frac12 \int_{2}^{3} \sqrt{t}\,dt = \pi\sqrt2 \left[\frac{2}{3}t^{3/2}\right]_{2}^{3} = \frac{2\pi\sqrt2}{3}\bigl(3^{3/2} - 2^{3/2}\bigr).Á
Podemos reescrever
3^{3/2}=3\sqrt3, \quad 2^{3/2}=2\sqrt2,
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\text{Área} = \frac{2\pi\sqrt2}{3}\,(3\sqrt3 - 2\sqrt2) = \frac{2\pi}{3}\,\bigl(3\sqrt6 - 4\bigr).Á

Resposta

(a) (u,v)=(1,2) \vec r(1,2)=(2,3,-1)=P.
(b) Plano tangente: -2x+3y+z-4=0.
(c) Equação cartesiana: 4x = y^2 - z^2.
(d) \displaystyle \text{Área} = \frac{2\pi\sqrt2}{3}\bigl(3\sqrt3 - 2\sqrt2\bigr)Á, ou equivalently \frac{2\pi}{3}(3\sqrt6-4).

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