Exercício 2.6. Considere a superfície S de equações paramétricas \vec{r}(u, v)=(u v, u+v, u-v), com u^{2}+v^{2} \leq 1.
(a) Mostre que o ponto P(2,3,-1) pertence à superfície.
(b) Encontre uma equação para o plano tangente à superfície nesse ponto.
(c) Encontre uma equação cartesiana para S.
(d) Calcule a área da superfície S.
Passo 1
O enunciado dá a superfície S por
\vec r(u,v) = (\,u\,v,\;u+v,\;u-v\,),
com domínio \{(u,v)\mid u^2+v^2\le1\}.
Precisamos:
(a) mostrar que P(2,3,-1) está na imagem de \vec r;
(b) achar o plano tangente em P;
(c) obter a equação cartesiana de S;
(d) calcular a área de S (isto é, da parte do patch com u^2+v^2\le1).
Passo 2
Para ver se P\) está em \(S\), resolvemos o sistema
\[uv = 2, \quad u+v = 3, \quad u-v = -1.
Das duas últimas equações:
\begin{cases} u+v=3,\\\ u-v=-1, \end{cases}
somando dá 2u=2\Rightarrow u=1\], e daí \(v=3-u=2. Verificamos então u\,v=1\cdot2=2.
Logo
\vec r(1,2) = (1\cdot2,\;1+2,\;1-2) = (2,3,-1) = P.
Portanto P pertence à superfície parametrizada.
Passo 3
Para o plano tangente usamos as derivadas parciais em (u_0,v_0)=(1,2):