Exercício 2.11. Considere a porção da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=9 que está no primeiro octante. Seja \vec{F}(x, y, z)= \left(e^{x^{2} \cos x}+z^{2}, 0,0\right). Calcule \int_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r}, onde C é a fronteira desta porção, orientada no sentido anti-horário quando vista da origem.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de
\int_{C}\vec F\cdot d\vec r
onde \vec F(x,y,z)=(e^{x^{2}\cos x}+z^{2},0,0) e C é a curva fronteira da parte da esfera
x^{2}+y^{2}+z^{2}=9
no primeiro octante, orientada anti-horário quando vista da origem.
O conteúdo principal aqui é o Teorema de Stokes, que relaciona integral de linha de \vec F sobre C com a integral de superfície de \nabla\times\vec F sobre o patch esférico.

Passo 2

Pelo Teorema de Stokes,
\int_{C}\vec F\cdot d\vec r =\iint_{S}(\nabla\times\vec F)\cdot\vec n\,dS
onde S é a porção da esfera em questão e \vec n é a normal escolhida de modo compatível com a orientação de C.

Passo 3

Calcular o rotacional de \vec F. Escrevendo \vec F=(P,0,0) com
P=e^{x^{2}\cos x}+z^{2},
temos
\nabla\times\vec F =\bigl(0,\;\partial P/\partial z,\;-\,\partial P/\partial y\bigr) =(0,2z,0).

Passo 4

A curva C é orientada anti-horário vista da origem. Pela regra da mão direita, isso corresponde a escolher a normal apontando para a origem, isto é, a normal interna da esfera. Como a normal externa seria \vec r/3, a interna é
\vec n=-\frac{\vec r}{3} =-\frac{1}{3}(x,y,z).

Passo 5

Parametrizamos S com coordenadas esféricas:
x=3\sin\varphi\cos\theta,\quad y=3\sin\varphi\sin\theta,\quad z=3\cos\varphi,
com \theta\in[0,\pi/2], \varphi\in[0,\pi/2]. O elemento de área é
dS=3^{2}\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta=9\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta.
No integrando aparece
(\nabla\times\vec F)\cdot\vec n =(0,2z,0)\cdot\Bigl(-\tfrac{x}{3},-\tfrac{y}{3},-\tfrac{z}{3}\Bigr) =-\frac{2zy}{3}.
Em esféricas z=3\cos\varphi e y=3\sin\varphi\sin\theta, logo
-\frac{2zy}{3} =-\frac{2}{3}\bigl(3\cos\varphi\bigr)\bigl(3\sin\varphi\sin\theta\bigr) =-6\cos\varphi\sin\varphi\sin\theta.

Passo 6

A integral de superfície fica
\iint_{S}(\nabla\times\vec F)\cdot\vec n\,dS =\int_{0}^{\pi/2}\!\!\int_{0}^{\pi/2} \bigl[-6\cos\varphi\sin\varphi\sin\theta\bigr] \bigl[9\sin\varphi\bigr]\,d\varphi\,d\theta.
Isso é
-54 \int_{0}^{\pi/2}\sin\theta\,d\theta \int_{0}^{\pi/2}\cos\varphi\,\sin^{2}\varphi\,d\varphi.
Calculamos
\int_{0}^{\pi/2}\sin\theta\,d\theta=1, \quad \int_{0}^{\pi/2}\sin^{2}\varphi\cos\varphi\,d\varphi =\int_{0}^{1}u^{2}du =\frac{1}{3}.
Portanto o valor total é
-54\cdot1\cdot\frac{1}{3} =-18.

Resposta

-18

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