Exercício 2.11. Considere a porção da esfera
que está no primeiro octante. Seja
. Calcule
, onde
é a fronteira desta porção, orientada no sentido anti-horário quando vista da origem.
Passo 1
O enunciado pede o cálculo de
onde
e
é a curva fronteira da parte da esfera
no primeiro octante, orientada anti-horário quando vista da origem.
O conteúdo principal aqui é o Teorema de Stokes, que relaciona integral de linha de sobre
com a integral de superfície de
sobre o patch esférico.
O conteúdo principal aqui é o Teorema de Stokes, que relaciona integral de linha de
Passo 2
Pelo Teorema de Stokes,
onde
é a porção da esfera em questão e
é a normal escolhida de modo compatível com a orientação de
.
Passo 3
Calcular o rotacional de
. Escrevendo
com
temos
Passo 4
A curva
é orientada anti-horário vista da origem. Pela regra da mão direita, isso corresponde a escolher a normal apontando para a origem, isto é, a normal interna da esfera. Como a normal externa seria
, a interna é
Passo 5
Parametrizamos
com coordenadas esféricas:
com
,
. O elemento de área é
No integrando aparece
Em esféricas
e
, logo
Passo 6
A integral de superfície fica
Isso é
Calculamos
Portanto o valor total é