Exercício 10. Considere a função
f(x)=\frac{b}{a} \sqrt{x^{2}-a^{2}}
cujo gráfico é a “metade superior” da hipérbole \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1.
a) Verifique que f^{\prime \prime}(x)<0 para todo x \neq \pm a.
b) Prove que \lim _{x \rightarrow \infty}\left[f(x)-\frac{b}{a} x\right]=0 . \quad (Analogamente, prova-se que \lim _{x \rightarrow-\infty}\left[f(x)+\frac{b}{a} x\right]=0.)

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=\frac{b}{a}\sqrt{x^{2}-a^{2}},
que é a metade superior da hipérbole \dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1. Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A expressão \sqrt{x^{2}-a^{2}} exige x^{2}-a^{2}\ge 0, ou seja o domínio real da função é |x|\ge |a|. (Na prática usual para hipérbole toma-se a>0 e b>0.)
  • O enunciado pede duas coisas:
    (a) verificar que f''(x)<0 para todo x\neq\pm a (isto é, para todo x do domínio distinto de \pm a);
    (b) provar que \displaystyle\lim_{x\to\infty}\bigl[f(x)-\tfrac{b}{a}x\bigr]=0.
    Nada mais será assumido além do que a função define (podemos tomar a>0 e b>0 para interpretar a metade superior da hipérbole).

Passo 2

Vamos derivar f. Primeiro relembre a regra de derivação da raiz quadrada: se g(x)=\sqrt{u(x)}=(u(x))^{1/2} então
g'(x)=\frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}.
Aqui u(x)=x^{2}-a^{2} e u'(x)=2x. Aplicando essa regra e o fator constante \dfrac{b}{a} obtemos a derivada primeira:
f'(x)=\frac{b}{a}\cdot\frac{2x}{2\sqrt{x^{2}-a^{2}}} =\frac{b}{a}\cdot\frac{x}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}.
Para simplificar a expressão escrevemos
f'(x)=\frac{b\,x}{a\sqrt{x^{2}-a^{2}}}.

Passo 3

Agora precisamos de f''(x). Vou usar a regra do produto / cadeia aplicada à forma
f'(x)=\frac{b}{a}\; x\,(x^{2}-a^{2})^{-1/2}.
Lembrete rápido da regra do produto: (uv)'=u'v+uv'. Tome u(x)=x e v(x)=(x^{2}-a^{2})^{-1/2}. Então u'(x)=1 e, pela regra da cadeia,
v'(x)=-\tfrac{1}{2}(x^{2}-a^{2})^{-3/2}\cdot 2x = -\,\frac{x}{(x^{2}-a^{2})^{3/2}}.
Aplicando a regra do produto:
\begin{aligned} f''(x) &=\frac{b}{a}\bigl[u'(x)v(x)+u(x)v'(x)\bigr]\\[6pt] &=\frac{b}{a}\left[(x^{2}-a^{2})^{-1/2} + x\left(-\frac{x}{(x^{2}-a^{2})^{3/2}}\right)\right]\\[6pt] &=\frac{b}{a}\left[\frac{1}{(x^{2}-a^{2})^{1/2}}-\frac{x^{2}}{(x^{2}-a^{2})^{3/2}}\right]. \end{aligned}
Colocando sobre um único denominador (x^{2}-a^{2})^{3/2}:
\begin{aligned} f''(x) &=\frac{b}{a}\cdot\frac{(x^{2}-a^{2})-x^{2}}{(x^{2}-a^{2})^{3/2}}\\[6pt] &=\frac{b}{a}\cdot\frac{-a^{2}}{(x^{2}-a^{2})^{3/2}}\\[6pt] &=-\,\frac{b\,a}{(x^{2}-a^{2})^{3/2}}. \end{aligned}]

Passo 4

Análise do sinal de f''(x). Para x no domínio com |x|>a (ou seja, x\neq\pm a), o termo (x^{2}-a^{2})^{3/2} é estritamente positivo. Se tomarmos a>0 e b>0 (hipérbole padrão), o numerador -b a é estritamente negativo. Logo
f''(x)=-\,\frac{b\,a}{(x^{2}-a^{2})^{3/2}}<0\qquad\text{para todo }|x|>a.
Comentário sobre os pontos \pm a: em x=\pm a a função tem raiz quadrada de zero e as derivadas não são finitas (a derivada tende a infinito), por isso não se exige verificar f'' nesses pontos. Concluímos assim a verificação pedida no item (a): f''(x)<0 para todo x do domínio exceto \pm a.

Passo 5

Agora o item (b). Queremos mostrar
\lim_{x\to\infty}\left[f(x)-\frac{b}{a}x\right]=0.
Escrevemos a diferença e usamos o truque da conjugada para eliminar a raiz:
\begin{aligned} f(x)-\frac{b}{a}x &=\frac{b}{a}\Bigl(\sqrt{x^{2}-a^{2}}-x\Bigr). \end{aligned}
Multiplicamos a expressão entre parênteses pela conjugada \sqrt{x^{2}-a^{2}}+x (isto não altera o valor, pois multiplicamos e dividimos pelo mesmo):
\sqrt{x^{2}-a^{2}}-x =\frac{\bigl(\sqrt{x^{2}-a^{2}}-x\bigr)\bigl(\sqrt{x^{2}-a^{2}}+x\bigr)}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}+x} =\frac{(x^{2}-a^{2})-x^{2}}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}+x} =\frac{-a^{2}}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}+x}.
Portanto
f(x)-\frac{b}{a}x =\frac{b}{a}\cdot\frac{-a^{2}}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}+x} =-\frac{a b}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}+x}.

Passo 6

Avaliação do limite. Para x\to\infty o denominador \sqrt{x^{2}-a^{2}}+x tende para +\infty. (De modo mais preciso, \sqrt{x^{2}-a^{2}}=\;x\sqrt{1-a^{2}/x^{2}}=x\bigl(1-\tfrac{a^{2}}{2x^{2}}+o(1/x^{2})\bigr), então \sqrt{x^{2}-a^{2}}+x\sim 2x\to\infty.) Como o numerador -ab é constante, concluímos
\lim_{x\to\infty}\left[f(x)-\frac{b}{a}x\right] =\lim_{x\to\infty}\left(-\frac{a b}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}+x}\right)=0.
Isto mostra exatamente que a função se aproxima da reta assintótica y=\tfrac{b}{a}x quando x\to\infty. (De modo análogo, fazendo x\to-\infty obtém-se \lim_{x\to-\infty}\bigl[f(x)+\tfrac{b}{a}x\bigr]=0, mostrable pelo mesmo truque da conjugada.)

Resposta

\displaystyle f''(x)=-\frac{ab}{(x^{2}-a^{2})^{3/2}}<0 para todo |x|>a.
\displaystyle \lim_{x\to\infty}\biggl[f(x)-\frac{b}{a}x\biggr]=0

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