Exercício 10. Considere a função
cujo gráfico é a “metade superior” da hipérbole
.
a) Verifique que
para todo
.
b) Prove que
(Analogamente, prova-se que
.)
a) Verifique que
b) Prove que
Passo 1
O enunciado nos dá a função
que é a metade superior da hipérbole
. Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A expressão
exige , ou seja o domínio real da função é . (Na prática usual para hipérbole toma-se e .) - O enunciado pede duas coisas:
(a) verificar quepara todo (isto é, para todo do domínio distinto de );
(b) provar que.
Nada mais será assumido além do que a função define (podemos tomare para interpretar a metade superior da hipérbole).
Passo 2
Vamos derivar
. Primeiro relembre a regra de derivação da raiz quadrada: se
então
Aqui
e
. Aplicando essa regra e o fator constante
obtemos a derivada primeira:
Para simplificar a expressão escrevemos
Passo 3
Agora precisamos de
. Vou usar a regra do produto / cadeia aplicada à forma
Lembrete rápido da regra do produto:
. Tome
e
. Então
e, pela regra da cadeia,
Aplicando a regra do produto:
Colocando sobre um único denominador
:
Passo 4
Análise do sinal de
. Para
no domínio com
(ou seja,
), o termo
é estritamente positivo. Se tomarmos
e
(hipérbole padrão), o numerador
é estritamente negativo. Logo
Comentário sobre os pontos
: em
a função tem raiz quadrada de zero e as derivadas não são finitas (a derivada tende a infinito), por isso não se exige verificar
nesses pontos. Concluímos assim a verificação pedida no item (a):
para todo
do domínio exceto
.
Passo 5
Agora o item (b). Queremos mostrar
Escrevemos a diferença e usamos o truque da conjugada para eliminar a raiz:
Multiplicamos a expressão entre parênteses pela conjugada
(isto não altera o valor, pois multiplicamos e dividimos pelo mesmo):
Portanto
Passo 6
Avaliação do limite. Para
o denominador
tende para
. (De modo mais preciso,
, então
.) Como o numerador
é constante, concluímos
Isto mostra exatamente que a função se aproxima da reta assintótica
quando
. (De modo análogo, fazendo
obtém-se
, mostrable pelo mesmo truque da conjugada.)