Exercício 13. Esboce as seguintes regiões do plano cartesiano:
\left{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: y \geq x^{2}-1\right}

Passo 1

O enunciado pede que se esboce (desenhe) a região do plano
\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\; y \geq x^{2}-1\}.
Informações dadas:
  • A inequação descreve todos os pares (x,y) reais que satisfazem y \geq x^{2}-1.
    O que se pede:
  • Produzir um esboço (gráfico) da região no plano cartesiano que satisfaz essa condição.

Passo 2

Identificar a curva que forma a fronteira da região. A fronteira é dada pela igualdade
y = x^{2}-1.
Vamos entender essa curva passo a passo:
  • Essa é uma parábola do tipo y = x^{2} + b (no caso b=-1), ou seja, uma parábola com concavidade voltada para cima (porque o coeficiente de x^{2} é positivo).
  • Podemos escrever em forma de vértice:
y = (x-0)^{2}-1,
logo o vértice é (0,-1) e o eixo de simetria é a reta x=0 (o eixo y).

Passo 3

Calcular pontos-chave da parábola (úteis para desenhar):
  • Vértice: já vimos que é (0,-1).
  • Interseção com o eixo y: em x=0, y=0^{2}-1=-1; então a interseção y é (0,-1) (que é o próprio vértice).
  • Interseções com o eixo x (raízes): resolver x^{2}-1=0:
x^{2}=1\quad\Rightarrow\quad x=\pm 1.
Então as interseções com o eixo x são (1,0) e (-1,0).
  • Alguns pontos adicionais para melhorar o esboço: por exemplo, para x=2 temos y=2^{2}-1=3 dando o ponto (2,3); para x=-2 também y=3.

Passo 4

Como desenhar a parábola no papel (passo a passo prático):
  1. Marque o vértice em (0,-1).
  2. Marque os pontos (1,0) e (-1,0).
  3. Marque mais um ou dois pontos, por exemplo (2,3) e (-2,3), para ter a curva subindo à medida que |x| cresce.
  4. Trace uma curva suave e simétrica passando por esses pontos, abrindo para cima. Essa curva é a fronteira entre dentro e fora da região.

Passo 5

Interpretar a desigualdade y \geq x^{2}-1:
  • A igualdade y = x^{2}-1 é a fronteira; a desigualdade com sinal \geq significa que a região procurada contém todos os pontos que estão “no mesmo lado” da fronteira em que y é maior ou igual.
  • Geometricamente, para uma parábola que abre para cima, os pontos com y maiores que x^{2}-1 estão acima da curva. Portanto a região é o conjunto dos pontos sobre a parábola e também todos os pontos situados acima dela (no sentido do eixo y positivo).
  • Como o sinal é \geq, a própria curva é incluída: a fronteira deve ser desenhada como uma linha contínua (não tracejada).

Passo 6

Teste rápido de ponto para confirmar o lado a ser sombreado:
  • Pegue um ponto fácil que não esteja na fronteira, por exemplo (0,0). Calcule x^{2}-1 em x=0: 0^{2}-1=-1. Como y=0\geq -1, o ponto (0,0) satisfaz a desigualdade. Logo a região contém o ponto acima do vértice, confirmando que devemos sombrear a região acima da parábola.
  • Outro teste: o ponto (0,-2) y=-2 que não satisfaz -2\geq -1; então (0,-2) NÃO pertence à região — confirma que abaixo da parábola não é incluído.

Passo 7

Como apresentar o esboço final:
  • Desenhe o sistema de eixos x e y.
  • Desenhe a parábola y=x^{2}-1 com vértice em (0,-1), passando por (\pm1,0) e subindo para (\pm2,3), etc.
  • Pinte ou sombreie a região acima da parábola, incluindo a própria curva (linha sólida).
  • Opcionalmente, marque um ponto de teste (por exemplo (0,0)) e escreva que ele pertence à região para reforçar visualmente.

Resposta

A região é o conjunto dos pontos sobre ou acima da parábola \,y=x^{2}-1, ou seja
\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\; y\geq x^{2}-1\},
que tem vértice em (0,-1), interseções com o eixo x em (\pm1,0) e abre para cima.

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