Exercício 13. Esboce as seguintes regiões do plano cartesiano:
\left{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: y \geq x^{2}-1\right}
\left{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: y \geq x^{2}-1\right}
Passo 1
O enunciado pede que se esboce (desenhe) a região do plano
Informações dadas:
- A inequação descreve todos os pares
reais que satisfazem .
O que se pede: - Produzir um esboço (gráfico) da região no plano cartesiano que satisfaz essa condição.
Passo 2
Identificar a curva que forma a fronteira da região. A fronteira é dada pela igualdade
Vamos entender essa curva passo a passo:
- Essa é uma parábola do tipo
(no caso ), ou seja, uma parábola com concavidade voltada para cima (porque o coeficiente de é positivo). - Podemos escrever em forma de vértice:
logo o vértice é
e o eixo de simetria é a reta
(o eixo
).
Passo 3
Calcular pontos-chave da parábola (úteis para desenhar):
- Vértice: já vimos que é
. - Interseção com o eixo
: em , ; então a interseção é (que é o próprio vértice). - Interseções com o eixo
(raízes): resolver :
Então as interseções com o eixo
são
e
.
- Alguns pontos adicionais para melhorar o esboço: por exemplo, para
temos dando o ponto ; para também .
Passo 4
Como desenhar a parábola no papel (passo a passo prático):
- Marque o vértice em
. - Marque os pontos
e . - Marque mais um ou dois pontos, por exemplo
e , para ter a curva subindo à medida que cresce. - Trace uma curva suave e simétrica passando por esses pontos, abrindo para cima. Essa curva é a fronteira entre dentro e fora da região.
Passo 5
Interpretar a desigualdade
:
- A igualdade
é a fronteira; a desigualdade com sinal significa que a região procurada contém todos os pontos que estão “no mesmo lado” da fronteira em que é maior ou igual. - Geometricamente, para uma parábola que abre para cima, os pontos com
maiores que estão acima da curva. Portanto a região é o conjunto dos pontos sobre a parábola e também todos os pontos situados acima dela (no sentido do eixo positivo). - Como o sinal é
, a própria curva é incluída: a fronteira deve ser desenhada como uma linha contínua (não tracejada).
Passo 6
Teste rápido de ponto para confirmar o lado a ser sombreado:
- Pegue um ponto fácil que não esteja na fronteira, por exemplo
. Calcule em : . Como , o ponto satisfaz a desigualdade. Logo a região contém o ponto acima do vértice, confirmando que devemos sombrear a região acima da parábola. - Outro teste: o ponto
dá que não satisfaz ; então NÃO pertence à região — confirma que abaixo da parábola não é incluído.
Passo 7
Como apresentar o esboço final:
- Desenhe o sistema de eixos
e . - Desenhe a parábola
com vértice em , passando por e subindo para , etc. - Pinte ou sombreie a região acima da parábola, incluindo a própria curva (linha sólida).
- Opcionalmente, marque um ponto de teste (por exemplo
) e escreva que ele pertence à região para reforçar visualmente.
Resposta
A região é o conjunto dos pontos sobre ou acima da parábola
, ou seja
que tem vértice em
, interseções com o eixo
em
e abre para cima.