Exercício 5. Dado vec{u}=\langle 3,4\rangle, determine:
a projeção de \vec{u} sobre o vetor \vec{v}=\langle 2,4\rangle.

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec{u} = \langle 3,4\rangle e \vec{v} = \langle 2,4\rangle e pede a projeção de \vec{u} sobre \vec{v}.
Informações relevantes fornecidas:
  • \vec{u} = \langle 3,4\rangle.
  • \vec{v} = \langle 2,4\rangle.
    A pergunta é: qual é o vetor projeção de \vec{u} na direção de \vec{v}?

Passo 2

Vamos recordar a definição e a fórmula da projeção (a parte teórica bem mastigada). A projeção de \vec{u} sobre \vec{v} é o vetor em que se “projeta” \vec{u} na direção de \vec{v}; geometricamente é o componente de \vec{u} paralelo a \vec{v}. A fórmula é:
\operatorname{proj}_{\vec{v}}\vec{u} = \frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\vec{v}\cdot\vec{v}}\,\vec{v}.
Explicando cada parte:
  • \vec{u}\cdot\vec{v} é o produto escalar (ou dot product) entre \vec{u} e \vec{v}. Para vetores em coordenadas, \vec{u}\cdot\vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2. Aqui u_1,u_2 são as componentes de \vec{u} e v_1,v_2 as de \vec{v}.
  • \vec{v}\cdot\vec{v} é o produto escalar de \vec{v} consigo mesmo; isso é a norma ao quadrado: \|\vec{v}\|^2.
  • O quociente \dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\vec{v}\cdot\vec{v}} é um número escalar; multiplicando esse escalar por \vec{v} obtemos um vetor paralelo a \vec{v} com a magnitude correta.

Passo 3

Calcular o produto escalar \vec{u}\cdot\vec{v}. Usando componentes:
\vec{u}\cdot\vec{v} = 3\cdot 2 + 4\cdot 4.
Agora as contas:
3\cdot 2 = 6,\qquad 4\cdot 4 = 16,
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\vec{u}\cdot\vec{v} = 6 + 16 = 22.

Passo 4

Calcular \vec{v}\cdot\vec{v}, que é \|\vec{v}\|^2:
\vec{v}\cdot\vec{v} = 2^2 + 4^2 = 4 + 16 = 20.

Passo 5

Calcular o escalar que multiplica \vec{v}:
\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\vec{v}\cdot\vec{v}} = \frac{22}{20} = \frac{11}{10}.
Interpretando: isto significa que a projeção é \tfrac{11}{10} vezes o vetor \vec{v}.

Passo 6

Multiplicar o escalar por \vec{v} componente a componente:
\operatorname{proj}_{\vec{v}}\vec{u} = \frac{11}{10}\langle 2,4\rangle = \left\langle \frac{11}{10}\cdot 2,\; \frac{11}{10}\cdot 4\right\rangle.
Fazendo as multiplicações:
\frac{11}{10}\cdot 2 = \frac{22}{10} = \frac{11}{5},\qquad \frac{11}{10}\cdot 4 = \frac{44}{10} = \frac{22}{5}.
Portanto
\operatorname{proj}_{\vec{v}}\vec{u} = \left\langle \frac{11}{5},\; \frac{22}{5}\right\rangle.

Passo 7

Checagem rápida (opcional, para ganhar confiança): o vetor residual \vec{u} - \operatorname{proj}_{\vec{v}}\vec{u} deve ser ortogonal a \vec{v}. Calcular o produto escalar:
\vec{u} - \operatorname{proj}_{\vec{v}}\vec{u} = \left\langle 3 - \frac{11}{5},\; 4 - \frac{22}{5}\right\rangle = \left\langle \frac{15-11}{5},\; \frac{20-22}{5}\right\rangle = \left\langle \frac{4}{5},\; -\frac{2}{5}\right\rangle.
Agora
\left(\vec{u} - \operatorname{proj}_{\vec{v}}\vec{u}\right)\cdot\vec{v} = \left\langle \frac{4}{5}, -\frac{2}{5}\right\rangle \cdot \langle 2,4\rangle = \frac{4}{5}\cdot 2 + \left(-\frac{2}{5}\right)\cdot 4 = \frac{8}{5} - \frac{8}{5} = 0,
confirmando que a projeção está correta (o residual é ortogonal a \vec{v}).

Resposta

\left\langle \dfrac{11}{5},\; \dfrac{22}{5}\right\rangle

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