Exercício 5. Dado
, determine:
a projeção de
sobre o vetor
.
a projeção de
Passo 1
O enunciado dá os vetores
e
e pede a projeção de
sobre
.
Informações relevantes fornecidas:
-
. -
.
A pergunta é: qual é o vetor projeção dena direção de ?
Passo 2
Vamos recordar a definição e a fórmula da projeção (a parte teórica bem mastigada). A projeção de
sobre
é o vetor em que se “projeta”
na direção de
; geometricamente é o componente de
paralelo a
. A fórmula é:
Explicando cada parte:
-
é o produto escalar (ou dot product) entre e . Para vetores em coordenadas, . Aqui são as componentes de e as de . -
é o produto escalar de consigo mesmo; isso é a norma ao quadrado: . - O quociente
é um número escalar; multiplicando esse escalar por obtemos um vetor paralelo a com a magnitude correta.
Passo 3
Calcular o produto escalar
. Usando componentes:
Agora as contas:
logo
Passo 4
Calcular
, que é
:
Passo 5
Calcular o escalar que multiplica
:
Interpretando: isto significa que a projeção é
vezes o vetor
.
Passo 6
Multiplicar o escalar por
componente a componente:
Fazendo as multiplicações:
Portanto
Passo 7
Checagem rápida (opcional, para ganhar confiança): o vetor residual
deve ser ortogonal a
. Calcular o produto escalar:
Agora
confirmando que a projeção está correta (o residual é ortogonal a
).