Exercício 6. Um pequeno avião desenvolve a velocidade de 180 \mathrm{~km} / \mathrm{h}. Certo dia, após voar por 30 minutos apontando para norte, o piloto percebe que - em decorrência do vento percorreu uma distância de 80 km a um ângulo de 5^{\circ} a leste do norte. Pergunta-se:
a) Qual a velocidade do vento?
b) Em que direção o piloto deveria ter apontado o avião a fim de alcançar o destino pretendido?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (peguei todos os números do enunciado).
  • Dados fornecidos:
    • A velocidade indicada do avião em relação ao ar é \,180\\ \mathrm{km/h}\,.
    • O tempo de voo foi \,30\\ \mathrm{min} = 0{,}5\\ \mathrm{h}\,.
    • Durante esse tempo, o deslocamento real (em relação ao solo) foi uma distância de \,80\\ \mathrm{km}\, no rumo \,5^\circ a leste do norte (isto é, 5^\circ para a direita do norte).
  • O piloto inicialmente apontou o avião para o norte (heading norte).
  • Perguntas:
    (a) Qual é a velocidade do vento (módulo e direção)?
    (b) Em que direção o piloto deveria ter apontado o avião para alcançar o destino pretendido (isto é, anular a deriva e seguir exatamente para o norte)?

Passo 2

Entendendo como modelar o problema (introdução aos vetores de velocidade, didático e básico).
  • Principio físico/matemático usado: a velocidade sobre o solo (vetor velocidade do solo) é a soma vetorial da velocidade do avião relativa ao ar (vetor do avião) com a velocidade do vento (vetor do vento):
\vec{v}_{\text{solo}}=\vec{v}_{\text{avião}}+\vec{v}_{\text{vento}}.ã
  • Vamos trabalhar em componentes cartesianas:
    • tomo o eixo norte como eixo y positivo e o eixo leste como eixo x positivo;
    • então “norte” corresponde a um vetor com componente x=0 e componente y>0;
    • ângulos medidos a leste do norte têm pequena componente x positiva e componente y positiva.
  • A estratégia:
    1. Determinar \vec{v}_{\text{solo}} a partir do deslocamento de \,80\\ \mathrm{km} em \,0{,}5\\ \mathrm{h}.
    2. Escrever \vec{v}_{\text{avião}}ã (quando o piloto apontou para o norte) e subtrair para achar \vec{v}_{\text{vento}}.
    3. Calcular módulo e direção do vento.
    4. Para (b), buscar o ângulo do direcionamento do avião tal que a componente leste do vetor resultante seja nula (ou seja, a pista sobre o solo fique exatamente para o norte).

Passo 3

Calcular a velocidade do solo \vec{v}_{\text{solo}} a partir do deslocamento.
  • O deslocamento de \,80\\ \mathrm{km} em \,0{,}5\\ \mathrm{h} corresponde a uma velocidade média escalar:
\text{velocidade escalar do solo}=\dfrac{80}{0{,}5}=160\\ \mathrm{km/h}.
  • Essa velocidade tem direção \,5^\circ a leste do norte. Vamos decompor em componentes x (leste) e y (norte). Usando trigonometria básica:
\begin{aligned} v_{\text{solo},x} &= 160\sin(5^\circ),\\[4pt] v_{\text{solo},y} &= 160\cos(5^\circ). \end{aligned}
  • Explicando a trigonometria (rapidamente): num triângulo retângulo com hipotenusa 160 e ângulo junto ao eixo y igual a 5^\circ, a componente ao longo do eixo x é hipotenusa vezes \sin do ângulo e a componente ao longo do eixo y é hipotenusa vezes \cos do ângulo.]

Passo 4

Avaliar numericamente as componentes da velocidade do solo (faço as contas passo a passo, sem pular etapas).
  • Primeiro obtenho os valores de seno e cosseno (valores conhecidos ou tabela básica):
    • \sin(5^\circ)\approx0{,}0871557.
    • \cos(5^\circ)\approx0{,}9961947.
  • Logo:
\begin{aligned} v_{\text{solo},x} &= 160\cdot 0{,}0871557 \approx 13{,}9449\\ \mathrm{km/h},\\[4pt] v_{\text{solo},y} &= 160\cdot 0{,}9961947 \approx 159{,}3912\\ \mathrm{km/h}. \end{aligned}]

Passo 5

Escrever o vetor velocidade do avião (quando apontado para norte) e calcular o vetor vento.
  • Quando o piloto apontou para norte com velocidade \,180\\ \mathrm{km/h}, a velocidade do avião relativa ao ar tem componentes:
\vec{v}_{\text{avião}}=(0,\;180)\\ \mathrm{km/h}.ã
(ou seja, sem componente leste, só componente norte).
  • Usando \vec{v}_{\text{vento}}=\vec{v}_{\text{solo}}-\vec{v}_{\text{avião}}ã, obtemos:
\begin{aligned} v_{\text{vento},x} &= v_{\text{solo},x}-0 = 13{,}9449\\ \mathrm{km/h},\\[4pt] v_{\text{vento},y} &= v_{\text{solo},y}-180 \approx 159{,}3912-180 = -20{,}6088\\ \mathrm{km/h}. \end{aligned}
  • Interpretação das componentes: v_{\text{vento},x}>0 significa vento com componente para leste; v_{\text{vento},y}<0 significa componente para sul. Ou seja, o vento sopra parcialmente para sudeste.]

Passo 6

Calcular o módulo (velocidade) do vento e sua direção (explicando as fórmulas).
  • O módulo de um vetor em componentes é dado por Pitágoras:
\|\vec{v}_{\text{vento}}\|=\sqrt{v_{\text{vento},x}^2+v_{\text{vento},y}^2}.
  • Substituindo os valores:
\|\vec{v}_{\text{vento}}\|=\sqrt{(13{,}9449)^2+(-20{,}6088)^2}\approx 24{,}9\\ \mathrm{km/h}.
  • Agora a direção: porque as componentes são (+13{,}9449,\,-20{,}6088), o vetor aponta para leste e para sul (quadrante sudeste). Para dar a direção em uma forma comum, calculo o ângulo que o vetor faz a leste do sul (ou equivalente).
  • A relação trigonométrica é
\tan(\theta)=\dfrac{\text{componente leste}}{\text{componente sul}}=\dfrac{v_{\text{vento},x}}{-v_{\text{vento},y}}.
(uso -v_{\text{vento},y} porque v_{\text{vento},y} é negativo e eu quero o ângulo a partir do sul).
  • Logo
\theta=\arctan\!\left(\dfrac{13{,}9449}{20{,}6088}\right)\approx 34{,}2^\circ.
  • Interpretação: o vento sopra em direção a 34{,}2^\circ a leste do sul, ou dito de outra forma, tem rumo igual a 145{,}8^\circ medido a partir do norte no sentido horário (porque 180^\circ-34{,}2^\circ=145{,}8^\circ). Se preferir a convenção meteorológica (“vento de”), este vento vem de 34{,}2^\circ a oeste do norte (isto é, de N 34{,}2^\circ W).

Passo 7

Resolver a parte (b): direção que o piloto deveria ter apontado para seguir exatamente para o norte.
  • Objetivo em (b): fazer com que o movimento resultante sobre o solo tenha componente leste nula (ou seja, o avião efetivamente segue para o norte, sem deriva).
  • Seja \varphi o ângulo em que o piloto deveria apontar o avião, medido a leste do norte (valores positivos -> leste; negativos -> oeste). As componentes do vetor velocidade do avião tornam-se:
\vec{v}_{\text{avião}}=(180\sin\varphi,\;180\cos\varphi).ã
  • A condição para que a componente leste do movimento sobre o solo seja zero é:
v_{\text{avião},x}+v_{\text{vento},x}=0.ã
Substituindo,
180\sin\varphi + 13{,}9449 = 0.
  • Dessa equação isolamos \sin\varphi:
\sin\varphi = -\dfrac{13{,}9449}{180}\approx -0{,}077472.
  • Tomando arco-seno:
\varphi = \arcsin(-0{,}077472)\approx -4{,}44^\circ.
  • Interpretação: o sinal negativo indica que a direção é a oeste do norte. Assim, o piloto deveria apontar o avião aproximadamente \,4{,}44^\circ a oeste do norte (ou seja, N 4{,}44^\circ W) para que a componente leste do vento seja cancelada e a trajetória sobre o solo fique exatamente para o norte.
  • Observação prática e motivadora: isso não garante que a velocidade sobre o solo na direção norte seja exatamente a mesma que teria sem vento — apenas corrige a deriva para manter a rota norte. Aqui, com esse apontamento, a velocidade norte sobre o solo ficaria menor que \,180\\ \mathrm{km/h} por causa da componente sul do vento, mas a aeronave seguiria na direção norte.

Resposta

(a) 24{,}9\\ \mathrm{km/h} em direção 34{,}2^\circ a leste do sul (equivalente a rumo 145{,}8^\circ a partir do norte, sentido horário).
(b) Apontar aproximadamente 4{,}44^\circ a oeste do norte (isto é, N 4{,}44^\circ W).

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