Exercício 6. Um pequeno avião desenvolve a velocidade de
. Certo dia, após voar por 30 minutos apontando para norte, o piloto percebe que - em decorrência do vento percorreu uma distância de 80 km a um ângulo de
a leste do norte. Pergunta-se:
a) Qual a velocidade do vento?
b) Em que direção o piloto deveria ter apontado o avião a fim de alcançar o destino pretendido?
a) Qual a velocidade do vento?
b) Em que direção o piloto deveria ter apontado o avião a fim de alcançar o destino pretendido?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (peguei todos os números do enunciado).
- Dados fornecidos:
- A velocidade indicada do avião em relação ao ar é
. - O tempo de voo foi
. - Durante esse tempo, o deslocamento real (em relação ao solo) foi uma distância de
no rumo a leste do norte (isto é, para a direita do norte).
- A velocidade indicada do avião em relação ao ar é
- O piloto inicialmente apontou o avião para o norte (heading norte).
- Perguntas:
(a) Qual é a velocidade do vento (módulo e direção)?
(b) Em que direção o piloto deveria ter apontado o avião para alcançar o destino pretendido (isto é, anular a deriva e seguir exatamente para o norte)?
Passo 2
Entendendo como modelar o problema (introdução aos vetores de velocidade, didático e básico).
- Principio físico/matemático usado: a velocidade sobre o solo (vetor velocidade do solo) é a soma vetorial da velocidade do avião relativa ao ar (vetor do avião) com a velocidade do vento (vetor do vento):
- Vamos trabalhar em componentes cartesianas:
- tomo o eixo norte como eixo
positivo e o eixo leste como eixo positivo; - então “norte” corresponde a um vetor com componente
e componente ; - ângulos medidos a leste do norte têm pequena componente
positiva e componente positiva.
- tomo o eixo norte como eixo
- A estratégia:
- Determinar
a partir do deslocamento de em . - Escrever
(quando o piloto apontou para o norte) e subtrair para achar . - Calcular módulo e direção do vento.
- Para (b), buscar o ângulo do direcionamento do avião tal que a componente leste do vetor resultante seja nula (ou seja, a pista sobre o solo fique exatamente para o norte).
- Determinar
Passo 3
Calcular a velocidade do solo
a partir do deslocamento.
- O deslocamento de
em corresponde a uma velocidade média escalar:
- Essa velocidade tem direção
a leste do norte. Vamos decompor em componentes (leste) e (norte). Usando trigonometria básica:
- Explicando a trigonometria (rapidamente): num triângulo retângulo com hipotenusa
e ângulo junto ao eixo igual a , a componente ao longo do eixo é hipotenusa vezes do ângulo e a componente ao longo do eixo é hipotenusa vezes do ângulo.]
Passo 4
Avaliar numericamente as componentes da velocidade do solo (faço as contas passo a passo, sem pular etapas).
- Primeiro obtenho os valores de seno e cosseno (valores conhecidos ou tabela básica):
-
. -
.
-
- Logo:
Passo 5
Escrever o vetor velocidade do avião (quando apontado para norte) e calcular o vetor vento.
- Quando o piloto apontou para norte com velocidade
, a velocidade do avião relativa ao ar tem componentes:
(ou seja, sem componente leste, só componente norte).
- Usando
, obtemos:
- Interpretação das componentes:
significa vento com componente para leste; significa componente para sul. Ou seja, o vento sopra parcialmente para sudeste.]
Passo 6
Calcular o módulo (velocidade) do vento e sua direção (explicando as fórmulas).
- O módulo de um vetor em componentes é dado por Pitágoras:
- Substituindo os valores:
- Agora a direção: porque as componentes são
, o vetor aponta para leste e para sul (quadrante sudeste). Para dar a direção em uma forma comum, calculo o ângulo que o vetor faz a leste do sul (ou equivalente). - A relação trigonométrica é
(uso
porque
é negativo e eu quero o ângulo a partir do sul).
- Logo
- Interpretação: o vento sopra em direção a
a leste do sul, ou dito de outra forma, tem rumo igual a medido a partir do norte no sentido horário (porque ). Se preferir a convenção meteorológica (“vento de”), este vento vem de a oeste do norte (isto é, de N W).
Passo 7
Resolver a parte (b): direção que o piloto deveria ter apontado para seguir exatamente para o norte.
- Objetivo em (b): fazer com que o movimento resultante sobre o solo tenha componente leste nula (ou seja, o avião efetivamente segue para o norte, sem deriva).
- Seja
o ângulo em que o piloto deveria apontar o avião, medido a leste do norte (valores positivos -> leste; negativos -> oeste). As componentes do vetor velocidade do avião tornam-se:
- A condição para que a componente leste do movimento sobre o solo seja zero é:
Substituindo,
- Dessa equação isolamos
:
- Tomando arco-seno:
- Interpretação: o sinal negativo indica que a direção é a oeste do norte. Assim, o piloto deveria apontar o avião aproximadamente
a oeste do norte (ou seja, N W) para que a componente leste do vento seja cancelada e a trajetória sobre o solo fique exatamente para o norte. - Observação prática e motivadora: isso não garante que a velocidade sobre o solo na direção norte seja exatamente a mesma que teria sem vento — apenas corrige a deriva para manter a rota norte. Aqui, com esse apontamento, a velocidade norte sobre o solo ficaria menor que
por causa da componente sul do vento, mas a aeronave seguiria na direção norte.
Resposta
(a)
em direção
a leste do sul (equivalente a rumo
a partir do norte, sentido horário).
(b) Apontar aproximadamente a oeste do norte (isto é, N
W).
(b) Apontar aproximadamente