Exercício 13. Esboce as seguintes regiões do plano cartesiano:
\left{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: x{2}+y{2}>4\right}
\left{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: x{2}+y{2}>4\right}
Passo 1
O enunciado pede que se esboce o conjunto
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A condição é a desigualdade
. - Não há outras restrições sobre
e .
O objetivo é representar geometricamente no plano os pontosque satisfazem essa desigualdade.
Passo 2
Entender a equação associada: a equação
representa uma circunferência. Mais precisamente:
- A forma geral de uma circunferência centrada na origem é
. - Comparando com
vemos que , logo .
Portantoé a circunferência de centro e raio .
Passo 3
Interpretar a desigualdade em termos de distância ao centro:
- Para um ponto
, a distância ao origem é . - A desigualdade
equivale a .
Usando coordenadas polares (onde) a condição fica simplesmente .
Isto significa: o conjunto são todos os pontos cuja distância à origem é maior que.
Passo 4
Consequência topológica e sobre a fronteira:
- A fronteira do conjunto é a circunferência
. - Como a desigualdade é estrita (
), a circunferência não está incluída no conjunto. - O conjunto é aberto: dado um ponto com
(distância da origem), basta escolher um raio tal que . Então qualquer ponto a distância menor que de terá distância ao centro maior que , logo permanece no conjunto.
Passo 5
Interseções com eixos e pontos de referência (úteis para o esboço):
- Com o eixo
( ): a condição vira , ou seja ou . Portanto sobre o eixo o conjunto está para a esquerda de e para a direita de . - Com o eixo
( ): a condição vira , ou seja ou . - Exemplos: o ponto
satisfaz (está no conjunto); o ponto não satisfaz ( é falso).
Passo 6
Como fazer o esboço passo a passo (o que desenhar no papel):
- Desenhar os eixos
e e marcar a origem . - Desenhar a circunferência de centro
e raio . Como essa circunferência NÃO está incluída na região, desenhe-a com traço pontilhado ou trace uma circunferência contínua e marque os pontos , , , com círculos abertos para indicar exclusão. - Sombrear (ou pintar) a região exterior a essa circunferência — isto é, tudo que estiver para fora do círculo de raio
. Não sombreie o interior (onde ). - Opcional: colocar um ponto de teste no exterior (por exemplo
) e no interior (por exemplo ) e anotar que o primeiro pertence ao conjunto e o segundo não.
Passo 7
Interpretação final em linguagem curta e amigável:
- O conjunto é a região exterior ao círculo de raio
centrado na origem; a circunferência não faz parte do conjunto. Ou seja, todos os pontos cuja distância à origem é maior que .
Resposta
O conjunto é a região exterior ao círculo de centro
e raio
; a circunferência
não está incluída.