Exercício 13. Esboce as seguintes regiões do plano cartesiano:
\left{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: x{2}+y{2}>4\right}

Passo 1

O enunciado pede que se esboce o conjunto
\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : x^{2}+y^{2}>4\}.
Informações dadas:
  • A condição é a desigualdade \,x^{2}+y^{2}>4.
  • Não há outras restrições sobre x e y.
    O objetivo é representar geometricamente no plano os pontos (x,y) que satisfazem essa desigualdade.

Passo 2

Entender a equação associada: a equação \,x^{2}+y^{2}=4 representa uma circunferência. Mais precisamente:
  • A forma geral de uma circunferência centrada na origem é \,(x-0)^{2}+(y-0)^{2}=r^{2}.
  • Comparando com \,x^{2}+y^{2}=4 vemos que r^{2}=4, logo r=2.
    Portanto \,x^{2}+y^{2}=4 é a circunferência de centro (0,0) e raio 2.

Passo 3

Interpretar a desigualdade em termos de distância ao centro:
  • Para um ponto (x,y), a distância ao origem é \sqrt{x^{2}+y^{2}}.
  • A desigualdade \,x^{2}+y^{2}>4 equivale a \sqrt{x^{2}+y^{2}}>2.
    Usando coordenadas polares (onde r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}) a condição fica simplesmente r>2.
    Isto significa: o conjunto são todos os pontos cuja distância à origem é maior que 2.

Passo 4

Consequência topológica e sobre a fronteira:
  • A fronteira do conjunto é a circunferência \,x^{2}+y^{2}=4.
  • Como a desigualdade é estrita ( >), a circunferência não está incluída no conjunto.
  • O conjunto é aberto: dado um ponto com r>2 (distância R da origem), basta escolher um raio \varepsilon tal que 0<\varepsilon<R-2. Então qualquer ponto a distância menor que \varepsilon de (x,y) terá distância ao centro maior que 2, logo permanece no conjunto.

Passo 5

Interseções com eixos e pontos de referência (úteis para o esboço):
  • Com o eixo x ( y=0): a condição vira x^{2}>4, ou seja x<-2 ou x>2. Portanto sobre o eixo x o conjunto está para a esquerda de -2 e para a direita de 2.
  • Com o eixo y ( x=0): a condição vira y^{2}>4, ou seja y<-2 ou y>2.
  • Exemplos: o ponto (3,0) satisfaz 3^{2}+0^{2}=9>4 (está no conjunto); o ponto (0,0) não satisfaz ( 0>4 é falso).

Passo 6

Como fazer o esboço passo a passo (o que desenhar no papel):
  1. Desenhar os eixos x e y e marcar a origem (0,0).
  2. Desenhar a circunferência de centro (0,0) e raio 2. Como essa circunferência NÃO está incluída na região, desenhe-a com traço pontilhado ou trace uma circunferência contínua e marque os pontos (2,0), (-2,0), (0,2), (0,-2) com círculos abertos para indicar exclusão.
  3. Sombrear (ou pintar) a região exterior a essa circunferência — isto é, tudo que estiver para fora do círculo de raio 2. Não sombreie o interior (onde x^{2}+y^{2}<4).
  4. Opcional: colocar um ponto de teste no exterior (por exemplo (3,0)) e no interior (por exemplo (0,0)) e anotar que o primeiro pertence ao conjunto e o segundo não.

Passo 7

Interpretação final em linguagem curta e amigável:
  • O conjunto é a região exterior ao círculo de raio 2 centrado na origem; a circunferência não faz parte do conjunto. Ou seja, todos os pontos cuja distância à origem é maior que 2.

Resposta

O conjunto é a região exterior ao círculo de centro (0,0) e raio 2; a circunferência x^{2}+y^{2}=4 não está incluída.

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