Exercício 7. Calcule a área da parte do cone z^{2}=3\left(x^{2}+y^{2}\right), z \geq 0, que está abaixo do plano x+y+z=2 a, a>0.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a área da parte do cone abaixo do plano. Dados e perguntas relevantes:
  • Temos o cone dado por z^{2}=3\left(x^{2}+y^{2}\right) com z\geq 0.
  • Temos o plano x+y+z=2a com a>0.
  • A pergunta: calcular a área da porção do cone que fica abaixo (isto é, no lado de menores z) do plano x+y+z=2a.
  • Informação implícita: a interseção entre o cone e o plano determina a curva que limita a região da superfície do cone cuja área devemos computar.

Passo 2

Vamos escolher coordenadas polares (cilíndricas) porque o cone é simétrico em torno do eixo z. Faço a mudança
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,\qquad r\ge0,\quad 0\le\theta<2\pi.
No cone temos
z^{2}=3r^{2}\quad\Rightarrow\quad z=\sqrt{3}\,r
(pegamos a raiz positiva porque z\ge0). Assim a superfície do cone pode ser parametrizada por r e \theta.
A curva de interseção com o plano é obtida impondo o plano na parametrização:
r\cos\theta + r\sin\theta + \sqrt{3}\,r = 2a.
Isolando r obtemos o raio limite, que depende de \theta:
r(\theta)=\frac{2a}{\cos\theta+\sin\theta+\sqrt{3}}.
Observação importante (para garantir que isso faz sentido): o denominador é sempre positivo porque \cos\theta+\sin\theta\in[-\sqrt{2},\sqrt{2}] e \sqrt{3}-\sqrt{2}>0. Logo r(\theta)>0 para todo \theta.

Passo 3

Vou parametrizar explicitamente a superfície (a parte do cone que nos interessa) por
\mathbf{R}(r,\theta)=\big(r\cos\theta,\; r\sin\theta,\; \sqrt{3}\,r\big), \qquad 0\le r\le r(\theta),\; 0\le\theta<2\pi.
Recordando a fórmula de área de superfície parametrizada: se \mathbf{R}(u,v) é uma parametrização, a área é
\text{Área}=\iint_{D}\big\|\mathbf{R}_{u}\times\mathbf{R}_{v}\big\|\,dudv.Á
Aqui u=r e v=\theta. Vou calcular os vetores tangentes:
\mathbf{R}_{r}=(\cos\theta,\;\sin\theta,\;\sqrt{3}),\qquad \mathbf{R}_{\theta}=(-r\sin\theta,\; r\cos\theta,\;0).

Passo 4

Calculo o produto vetorial e sua norma. Usando a expansão:
\mathbf{R}_{r}\times\mathbf{R}_{\theta}=(-\sqrt{3}\,r\cos\theta,\; -\sqrt{3}\,r\sin\theta,\; r),
e a norma é
\big\|\mathbf{R}_{r}\times\mathbf{R}_{\theta}\big\| = \sqrt{(\sqrt{3}\,r\cos\theta)^{2}+(\sqrt{3}\,r\sin\theta)^{2}+r^{2}} = r\sqrt{3+1}=2r.
(Explicação rápida: as componentes dão (\sqrt{3}r)^{2}(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta)+r^{2}=3r^{2}+r^{2}=4r^{2}.)
Portanto o elemento de área é dS=\big\|\mathbf{R}_{r}\times\mathbf{R}_{\theta}\big\|\,dr\,d\theta = 2r\,dr\,d\theta.

Passo 5

A área procurada é a integral dupla sobre a região 0\le r\le r(\theta),\;0\le\theta<2\pi:
S=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{r(\theta)} 2r\,dr\,d\theta.
Faço a integral em r primeiro:
\int_{0}^{r(\theta)} 2r\,dr = \big[r^{2}\big]_{0}^{r(\theta)} = r(\theta)^{2}.
Logo
S=\int_{0}^{2\pi} r(\theta)^{2}\,d\theta = \int_{0}^{2\pi} \frac{(2a)^{2}}{\big(\cos\theta+\sin\theta+\sqrt{3}\big)^{2}}\,d\theta =4a^{2}\int_{0}^{2\pi}\frac{d\theta}{\big(\cos\theta+\sin\theta+\sqrt{3}\big)^{2}}.

Passo 6

Simplifico a soma \cos\theta+\sin\theta usando uma identidade trigonométrica:
\cos\theta+\sin\theta=\sqrt{2}\cos\!\big(\theta-\tfrac{\pi}{4}\big).
Faço a mudança \varphi=\theta-\tfrac{\pi}{4}. Como a integral é sobre um período completo, o intervalo continua sendo de comprimento 2\pi. Assim
S=4a^{2}\int_{0}^{2\pi}\frac{d\varphi}{\big(\sqrt{3}+\sqrt{2}\cos\varphi\big)^{2}}.
Então preciso calcular a integral tipo
I(a,b):=\int_{0}^{2\pi}\frac{d\varphi}{(a+b\cos\varphi)^{2}}, \qquad a>|b|.

Passo 7

Uso um resultado útil (e fácil de obter): para a>|b| tem-se
\int_{0}^{2\pi}\frac{d\varphi}{a+b\cos\varphi}=\frac{2\pi}{\sqrt{a^{2}-b^{2}}}.
Sederivarmos essa igualdade em relação a a e usamos \partial/\partial a\big(1/(a+b\cos\varphi)\big)=-1/(a+b\cos\varphi)^{2}, obtemos
\int_{0}^{2\pi}\frac{d\varphi}{(a+b\cos\varphi)^{2}} = -\frac{\partial}{\partial a}\left(\frac{2\pi}{\sqrt{a^{2}-b^{2}}}\right) = \frac{2\pi a}{(a^{2}-b^{2})^{3/2}}.
Aplicando com a=\sqrt{3} e b=\sqrt{2} (note que \sqrt{3}>\sqrt{2}), temos a^{2}-b^{2}=3-2=1 e portanto
\int_{0}^{2\pi}\frac{d\varphi}{\big(\sqrt{3}+\sqrt{2}\cos\varphi\big)^{2}} =2\pi\sqrt{3}.

Passo 8

Voltando para S:
S=4a^{2}\cdot 2\pi\sqrt{3}=8\pi\sqrt{3}\,a^{2}.
Esse é o valor da área da parte do cone abaixo do plano x+y+z=2a.

Resposta

8\pi\sqrt{3}\,a^{2}

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