Exercício 7. Calcule a área da parte do cone
, que está abaixo do plano
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a área da parte do cone abaixo do plano. Dados e perguntas relevantes:
- Temos o cone dado por
com . - Temos o plano
com . - A pergunta: calcular a área da porção do cone que fica abaixo (isto é, no lado de menores
) do plano . - Informação implícita: a interseção entre o cone e o plano determina a curva que limita a região da superfície do cone cuja área devemos computar.
Passo 2
Vamos escolher coordenadas polares (cilíndricas) porque o cone é simétrico em torno do eixo
. Faço a mudança
No cone temos
(pegamos a raiz positiva porque
). Assim a superfície do cone pode ser parametrizada por
e
.
A curva de interseção com o plano é obtida impondo o plano na parametrização:
Isolando
obtemos o raio limite, que depende de
:
Observação importante (para garantir que isso faz sentido): o denominador é sempre positivo porque
e
. Logo
para todo
.
Passo 3
Vou parametrizar explicitamente a superfície (a parte do cone que nos interessa) por
Recordando a fórmula de área de superfície parametrizada: se
é uma parametrização, a área é
Aqui
e
. Vou calcular os vetores tangentes:
Passo 4
Calculo o produto vetorial e sua norma. Usando a expansão:
e a norma é
(Explicação rápida: as componentes dão
.)
Portanto o elemento de área é
.
Passo 5
A área procurada é a integral dupla sobre a região
:
Faço a integral em
primeiro:
Logo
Passo 6
Simplifico a soma
usando uma identidade trigonométrica:
Faço a mudança
. Como a integral é sobre um período completo, o intervalo continua sendo de comprimento
. Assim
Então preciso calcular a integral tipo
Passo 7
Uso um resultado útil (e fácil de obter): para
tem-se
Sederivarmos essa igualdade em relação a
e usamos
, obtemos
Aplicando com
e
(note que
), temos
e portanto
Passo 8
Voltando para
:
Esse é o valor da área da parte do cone abaixo do plano
.