Exercício 10. Considere as seguintes afirmações:
i) Se
for definido, então
será necessariamente quadrada.
ii) Se
e
forem definidos, então
e
serão quadradas.
iii) Se
e
forem definidos, então
e
serão quadradas.
iv) Se
então
.
vii)
.
Qual das sequências abaixo corresponde à classificação das afirmações acima como verdadeiras (V) ou falsas (F)?
a) VVVFV
b) VFVFF
c) VVFFV
d)
i) Se
ii) Se
iii) Se
iv) Se
vii)
a) VVVFV
b) VFVFF
c) VVFFV
d)
Passo 1
Temos cinco afirmações sobre matrizes
e
envolvendo existência de produtos e igualdades. O conteúdo é análise de dimensões em produtos matriciais e propriedades gerais de matrizes. Vamos verificar uma a uma se cada afirmativa é verdadeira (V) ou falsa (F).
Passo 2
(i) “Se
for definido, então
será necessariamente quadrada.”
Seja de ordem
. Para
existir, o número de colunas de
(que é
) deve ser igual ao número de linhas de
(que é
), ou seja
. Logo
é
, isto é, quadrada.
Conclusão: Verdadeira.
Seja
Conclusão: Verdadeira.
Passo 3
(ii) “Se
e
forem definidos, então
e
serão quadradas.”
Seja de ordem
e
de ordem
. Para
existir precisa
, e para
existir precisa
. Assim
é
e
é
. Se
, ambas podem ser retangulares.
Conclusão: Falsa.
Seja
Conclusão: Falsa.
Passo 4
(iii) “Se
e
forem definidos, então
e
serão quadradas.”
Mantendo de ordem
e
de ordem
, temos
Mantendo
ambas matrizes quadradas.
Conclusão: Verdadeira.
Conclusão: Verdadeira.
Passo 5
(iv) “Se
então
.”
Nem sempre: basta escolher (matriz nula). Então
para qualquer
, mas
.
Conclusão: Falsa.
Nem sempre: basta escolher
Conclusão: Falsa.
Passo 6
(vii) “
.”
, que coincide com
só se
. Em geral
.
Conclusão: Falsa.
Conclusão: Falsa.
Passo 7
Juntando: i) V, ii) F, iii) V, iv) F, v) F. A sequência é VFVFF, que corresponde à alternativa (b).
Resposta
(b)