Exercício 10. Considere as seguintes afirmações:
i) Se A^2 for definido, então A será necessariamente quadrada.
ii) Se A B e B A forem definidos, então A e B serão quadradas.
iii) Se A B e B A forem definidos, então A B e B A serão quadradas.
iv) Se A B=B então A=I.
vii) (A B)^2=A^2 B^2.
Qual das sequências abaixo corresponde à classificação das afirmações acima como verdadeiras (V) ou falsas (F)?
a) VVVFV
b) VFVFF
c) VVFFV
d) VFVVF

Passo 1

Temos cinco afirmações sobre matrizes A e B envolvendo existência de produtos e igualdades. O conteúdo é análise de dimensões em produtos matriciais e propriedades gerais de matrizes. Vamos verificar uma a uma se cada afirmativa é verdadeira (V) ou falsa (F).

Passo 2

(i) “Se A^2 for definido, então A será necessariamente quadrada.”
Seja A de ordem mtimes n. Para A^2=Acdot A existir, o número de colunas de A (que é n) deve ser igual ao número de linhas de A (que é m), ou seja n=m. Logo A é ntimes n, isto é, quadrada.
Conclusão: Verdadeira.

Passo 3

(ii) “Se AB e BA forem definidos, então A e B serão quadradas.”
Seja A de ordem mtimes n e B de ordem ptimes q. Para AB existir precisa n=p, e para BA existir precisa q=m. Assim A é mtimes n e B é ntimes m. Se mneq n, ambas podem ser retangulares.
Conclusão: Falsa.

Passo 4

(iii) “Se AB e BA forem definidos, então AB e BA serão quadradas.”
Mantendo A de ordem mtimes n e B de ordem ntimes m, temos
AB é mtimes m, BA é ntimes n, éé
ambas matrizes quadradas.
Conclusão: Verdadeira.

Passo 5

(iv) “Se AB=B então A=I.”
Nem sempre: basta escolher B=0 (matriz nula). Então AB=0=B para qualquer A, mas Aneq I.
Conclusão: Falsa.

Passo 6

(vii) “ (AB)^2=A^2B^2.”
(AB)^2=ABAB=A,(BA),B, que coincide com A^2B^2 só se BA=AB. Em geral ABneq BA.
Conclusão: Falsa.

Passo 7

Juntando: i) V, ii) F, iii) V, iv) F, v) F. A sequência é VFVFF, que corresponde à alternativa (b).

Resposta

(b)

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