O enunciado pede para provar duas propriedades básicas do valor absoluto de um inteiro : . . . se, e somente se, .
Para isso, vamos usar a definição por casos do valor absoluto:
Passo 2
Provar que lvert mrvert >= 0.
Se m>= 0, então pela definição lvert mrvert = m. Como m>= 0, segue lvert mrvert >= 0.
Se m<0, então pela definição lvert mrvert = -m. Mas m<0 implica -m>0. Logo lvert mrvert = -m>0, isto é, lvert mrvert >= 0.
Passo 3
Provar que lvert mrvert = 0 se, e somente se, m=0. (Rightarrow) Suponha lvert mrvert = 0.
Se m>= 0, então lvert mrvert = m = 0, logo m=0.
Se m<0, então lvert mrvert = -m = 0, o que também dá m=0.