Mostre (prove) que se a e b são inteiros, então
|m| >= 0 ;|m|=0 Leftrightarrow m=0 ;

Passo 1

O enunciado pede para provar duas propriedades básicas do valor absoluto de um inteiro m:
1. lvert mrvert >= 0.
2. lvert mrvert = 0 se, e somente se, m=0.
Para isso, vamos usar a definição por casos do valor absoluto:
|m| = m, & se m>= 0, -m, & se m< 0

Passo 2

Provar que lvert mrvert >= 0.
  • Se m>= 0, então pela definição lvert mrvert = m. Como m>= 0, segue lvert mrvert >= 0.
  • Se m<0, então pela definição lvert mrvert = -m. Mas m<0 implica -m>0. Logo lvert mrvert = -m>0, isto é, lvert mrvert >= 0.

Passo 3

Provar que lvert mrvert = 0 se, e somente se, m=0.
( Rightarrow) Suponha lvert mrvert = 0.
  • Se m>= 0, então lvert mrvert = m = 0, logo m=0.
  • Se m<0, então lvert mrvert = -m = 0, o que também dá m=0.
( Leftarrow) Suponha m=0. Então diretamente lvert mrvert = lvert 0rvert = 0.

Resposta

Mostramos que para todo inteiro m vale lvert mrvert>=0 e que lvert mrvert=0 exatamente quando m=0.

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