Nos Problemas 19 a 22, os pares de retas r1 e r2 são paralelas ou concorrentes. Encontrar uma equação geral do plano que as contém.
r1:lx=-2+t y=-t z=-3 e r2:ly=-x-1 z=3

Passo 1

O enunciado pede a equação geral do plano que contém as retas r1 e r2. Vamos usar geometria analítica no espaço: representar retas em forma paramétrica, verificar paralelismo, determinar vetor normal e escrever a equação do plano.

Passo 2

Representar as retas em forma paramétrica e extrair pontos e vetores diretores:
Para r1:
x=-2+t, y=-t, z=-3
Logo escolhemos P1=(-2,0,-3) e vec v1=(1,-1,0).
Para r2 tomamos x=s, daí
y=-s-1, z=3
Então escolhemos P2=(0,-1,3) e vec v2=(1,-1,0).

Passo 3

Como vec v2 é múltiplo de vec v1, as retas são paralelas. Definimos o vetor que liga P1 a P2:
vec w = P2 - P1 = (2,-1,6)

Passo 4

O vetor normal vec n do plano é ortogonal a vec v1 e a vec w, então
vec n = vec v1 times vec w = i & j & k 1 & -1 & 0 2 & -1 & 6 = (-6,-6,1)

Passo 5

Aplicando a forma ponto-normal com vec n=(-6,-6,1) e P1=(-2,0,-3):
vec ncdotl((x,y,z)-P1r)=0
-6(x+2)-6(y)+1(z+3)=0
Expansão e simplificação resultam em
6x+6y-z+9=0

Resposta

6x+6y-z+9=0

Exercícios relacionados