Exercício 10. Considere três pontos distintos
e
no plano cartesiano. Mostre que se suas coordenadas satisfazem a equação
, então esses pontos estão alinhados e, em seguida, conclua que o gráfico de uma função afim é sempre uma reta.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que três pontos distintos
,
e
cujas coordenadas satisfazem a equação de primeiro grau
estão alinhados. Em seguida, precisamos concluir que o gráfico de uma função afim é sempre uma reta. Vamos usar o critério de colinearidade baseado em declividades (coeficientes angulares) iguais.
Passo 2
Denotemos
e usemos o fato de que cada ponto satisfaz
. Logo,
Passo 3
Calculemos a declividade da reta que passa por
e
:
Passo 4
De modo análogo, a declividade de
para
é
Como
, os três pontos
,
e
são colineares.
Passo 5
O gráfico de uma função afim
é justamente o conjunto de todos os pontos
que satisfazem
. Como qualquer tripla de pontos desse conjunto fica em uma mesma reta, concluímos que o próprio gráfico é uma reta.
Resposta
Os pontos
,
e
estão alinhados. Portanto, o gráfico de uma função afim é sempre uma reta.