Exercício 10. Considere três pontos distintos A, B e C no plano cartesiano. Mostre que se suas coordenadas satisfazem a equação y=a x+b, então esses pontos estão alinhados e, em seguida, conclua que o gráfico de uma função afim é sempre uma reta.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que três pontos distintos A, B e C cujas coordenadas satisfazem a equação de primeiro grau
y = a x + b
estão alinhados. Em seguida, precisamos concluir que o gráfico de uma função afim é sempre uma reta. Vamos usar o critério de colinearidade baseado em declividades (coeficientes angulares) iguais.

Passo 2

Denotemos
A = (x_1,y_1),\quad B = (x_2,y_2),\quad C = (x_3,y_3)
e usemos o fato de que cada ponto satisfaz y = a x + b. Logo,
y_1 = a x_1 + b,\quad y_2 = a x_2 + b,\quad y_3 = a x_3 + b.

Passo 3

Calculemos a declividade da reta que passa por A e B:
m_{AB} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{(a x_2 + b) - (a x_1 + b)}{x_2 - x_1} = \frac{a(x_2 - x_1)}{x_2 - x_1} = a.

Passo 4

De modo análogo, a declividade de B para C é
m_{BC} = \frac{y_3 - y_2}{x_3 - x_2} = \frac{a(x_3 - x_2)}{x_3 - x_2} = a.
Como m_{AB} = m_{BC}, os três pontos A, B e C são colineares.

Passo 5

O gráfico de uma função afim f(x)=ax+b é justamente o conjunto de todos os pontos (x,y) que satisfazem y=ax+b. Como qualquer tripla de pontos desse conjunto fica em uma mesma reta, concluímos que o próprio gráfico é uma reta.

Resposta

Os pontos A, B e C estão alinhados. Portanto, o gráfico de uma função afim é sempre uma reta.

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