Questão 25: Você é administrador de uma fábrica de camisetas que atua em mercado competitivo. O custo total de produção é dado por:
em que q representa a quantidade de camisetas produzidas. Se o preço de venda das camisetas é de R$ 80,00, responda:
a) Quantas camisetas devem ser produzidas para maximizar o lucro?
b) Qual será o lucro máximo?
a) Quantas camisetas devem ser produzidas para maximizar o lucro?
b) Qual será o lucro máximo?
Passo 1
O enunciado dá o custo total de produção de camisetas como
e informa que, em um mercado competitivo, o preço de venda é fixo em R$ 80 por unidade. Queremos maximizar o lucro, que é a diferença entre a receita e o custo.
Passo 2
Definimos a função lucro
como receita menos custo. A receita é preço vezes quantidade, isto é,
. Logo,
Passo 3
Para encontrar o ponto de máximo, calculamos a derivada de
em relação a
e igualamos a zero:
Passo 4
Verificamos ser máximo calculando a segunda derivada:
logo
tem máximo em
. Agora calculamos o lucro máximo:
Resposta
(a)
camisetas.
(b) Lucro máximo de R$ .
(b) Lucro máximo de R$