Questão 25: Você é administrador de uma fábrica de camisetas que atua em mercado competitivo. O custo total de produção é dado por:
C=100+5 q^{2}
em que q representa a quantidade de camisetas produzidas. Se o preço de venda das camisetas é de R$ 80,00, responda:
a) Quantas camisetas devem ser produzidas para maximizar o lucro?
b) Qual será o lucro máximo?

Passo 1

O enunciado dá o custo total de produção de camisetas como
C(q)=100+5q^{2}
e informa que, em um mercado competitivo, o preço de venda é fixo em R$ 80 por unidade. Queremos maximizar o lucro, que é a diferença entre a receita e o custo.

Passo 2

Definimos a função lucro \pi(q) como receita menos custo. A receita é preço vezes quantidade, isto é, 80q. Logo,
\pi(q)=80q-\bigl(100+5q^{2}\bigr) =80q-100-5q^{2}.

Passo 3

Para encontrar o ponto de máximo, calculamos a derivada de \pi(q) em relação a q e igualamos a zero:
\frac{d\pi}{dq}=80-10q=0 \quad\Longrightarrow\quad 10q=80 \quad\Longrightarrow\quad q=8.

Passo 4

Verificamos ser máximo calculando a segunda derivada:
\frac{d^{2}\pi}{dq^{2}}=-10<0,
logo \pi(q) tem máximo em q=8. Agora calculamos o lucro máximo:
\pi(8)=80\cdot8-100-5\cdot8^{2} =640-100-320 =220.

Resposta

(a) q=8 camisetas.
(b) Lucro máximo de R$ 220.

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