Exercício 11. Uma função f definida de \mathbb{R}_{+}em \mathbb{R}_{+}, crescente, satisfaz a equação f(5 x)=5 f(x) para todo x real não-negativo. Se f(25)=125, então qual o valor de f(1) ?

Passo 1

O enunciado dá uma função f\colon \mathbb{R}_{+}\to\mathbb{R}_{+}, crescente, que satisfaz
f(5x)=5\,f(x)
para todo x\ge0, e informa que f(25)=125. Queremos achar f(1) usando apenas essa relação de escala.

Passo 2

Para x=1 na relação f(5x)=5f(x), obtemos
f(5)=5\,f(1).

Passo 3

Para x=5 na mesma relação, temos
f(25)=f(5\cdot5)=5\,f(5)=5\bigl(5\,f(1)\bigr)=25\,f(1).

Passo 4

Como f(25)=125, segue
25\,f(1)=125 \quad\Longrightarrow\quad f(1)=\frac{125}{25}=5.

Resposta

\,5

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