Exercício 9. Cláudio, gerente capacitado de uma empresa que produz e vende instrumentos musicais, contratou uma consultoria para analisar o sistema de produção. Os consultores, após um detalhado estudo, concluíram que o custo total de produção de x flautas de determinado tipo pode ser expresso pela função C(x)=2400+36 x, sendo R$2400, 00 o custo fixo. Atualmente a empresa vende 60 flautas daquele tipo por mês, ao preço de R$ 120,00 por unidade. O trabalho da empresa de consultoria demonstrou, também, que um gasto extra de R$1200,00 em publicidade provocaria um aumento de 15 \% no volume atual de vendas das flautas. Na sua opinião, Cláudio deveria autorizar o gasto extra em publicidade?

Passo 1

O enunciado nos dá o custo total de produção
C(x)=2400 + 36x
onde x é o número de flautas; atualmente vendem-se 60 flautas a R$ 120,00 cada. Há a proposta de gastar R$ 1200,00 em publicidade, o que aumentaria o volume em 15\%. Para decidir, precisamos calcular o lucro atual e o lucro após esse investimento e comparar.

Passo 2

Cálculo do lucro atual
– Quantidade atual: x_0 = 60.
– Custo atual:
C(60) = 2400 + 36 \cdot 60 = 2400 + 2160 = 4560.
– Receita atual:
R(60) = 120 \cdot 60 = 7200.
– Lucro atual:
\pi(60) = R(60) - C(60) = 7200 - 4560 = 2640.

Passo 3

Cálculo do lucro com o gasto em publicidade
– Novo volume:
x_1 = 60 \times 1{,}15 = 69.
– Novo custo fixo: 2400 + 1200 = 3600, logo
C(69) = 3600 + 36 \cdot 69 = 3600 + 2484 = 6084.
– Receita com mais vendas:
R(69) = 120 \cdot 69 = 8280.
– Lucro após publicidade:
\pi(69) = 8280 - 6084 = 2196.

Passo 4

Comparação dos lucros
– Lucro atual: R$ 2640.
– Lucro com publicidade: R$ 2196.
Como R$ 2196 < R$ 2640, o investimento reduz o lucro.

Resposta

Não. O gasto extra em publicidade faz o lucro cair de R$ 2640 para R$ 2196, logo não compensa.

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