Exercício 10 Considere
com as operações usuais. Os subconjuntos a seguir são subespaços de
?
;
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o espaço vetorial
com as operações normais de soma e multiplicação por escalar. O problema pergunta se o subconjunto
é um subespaço de
.
Para resolver isso, vamos precisar saber o que é um subespaço vetorial. Basicamente, um subespaço deve satisfazer três condições:
- Contém o vetor zero.
- É fechado sob adição (ou seja, a soma de dois vetores no subconjunto também está no subconjunto).
- É fechado sob multiplicação por escalar (ou seja, multiplicar um vetor do subconjunto por qualquer escalar também resulta em um vetor que está no subconjunto).
Vamos verificar cada uma dessas condições para
.
Passo 2
1. Contém o vetor zero
O vetor zero em
é
. Vamos ver se ele está em
.
- O primeiro componente de
é 0. - 0 é um número racional, já que pode ser expresso como
.
Então,
. Portanto, a primeira condição está satisfeita.
Passo 3
2. Fechado sob adição
Agora, precisamos verificar se a soma de quaisquer dois vetores em
também está em
.
Vamos pegar dois vetores quaisquer em
:
-
onde -
onde
A soma deles é:
Precisamos verificar se
é racional.
Como a soma de dois números racionais é sempre racional (porque
é fechado sob adição), então
.
Portanto,
. Assim,
é fechado sob adição.
Passo 4
3. Fechado sob multiplicação por escalar
Agora, vamos verificar se multiplicar um vetor de
por qualquer escalar em
mantém o vetor dentro de
.
Vamos pegar um vetor
em
, onde
, e um escalar
.
A multiplicação por escalar é:
Precisamos verificar se
é racional.
Aqui temos um problema: se
for um número irracional e
for racional, então
geralmente será irracional. Por exemplo, se
e
, então
, que não é racional.
Isso significa que
pode não estar em
, já que o primeiro componente pode ser irracional.
Resposta
Como
não é fechado sob multiplicação por escalar,
não é um subespaço de
.