Exercício 10 Considere V=R^2, F=R com as operações usuais. Os subconjuntos a seguir são subespaços de V ?
W=(x, y) in R^2 mid x in Q;

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o espaço vetorial V = R^2 com as operações normais de soma e multiplicação por escalar. O problema pergunta se o subconjunto W = (x, y) in R^2 mid x in Q é um subespaço de V .
Para resolver isso, vamos precisar saber o que é um subespaço vetorial. Basicamente, um subespaço deve satisfazer três condições:
  1. Contém o vetor zero.
  2. É fechado sob adição (ou seja, a soma de dois vetores no subconjunto também está no subconjunto).
  3. É fechado sob multiplicação por escalar (ou seja, multiplicar um vetor do subconjunto por qualquer escalar também resulta em um vetor que está no subconjunto).
Vamos verificar cada uma dessas condições para W .

Passo 2

1. Contém o vetor zero
O vetor zero em R^2 é (0, 0) . Vamos ver se ele está em W .
  • O primeiro componente de (0, 0) é 0.
  • 0 é um número racional, já que pode ser expresso como 01 .
Então, (0, 0) in W . Portanto, a primeira condição está satisfeita.

Passo 3

2. Fechado sob adição
Agora, precisamos verificar se a soma de quaisquer dois vetores em W também está em W .
Vamos pegar dois vetores quaisquer em W :
  • u = (x1, y1) onde x1 in Q
  • v = (x2, y2) onde x2 in Q
A soma deles é:
u + v = (x1 + x2, y1 + y2)
Precisamos verificar se x1 + x2 é racional.
Como a soma de dois números racionais é sempre racional (porque Q é fechado sob adição), então x1 + x2 in Q .
Portanto, u + v in W . Assim, W é fechado sob adição.

Passo 4

3. Fechado sob multiplicação por escalar
Agora, vamos verificar se multiplicar um vetor de W por qualquer escalar em R mantém o vetor dentro de W .
Vamos pegar um vetor u = (x, y) em W , onde x in Q , e um escalar c in R .
A multiplicação por escalar é:
c cdot u = (c cdot x, c cdot y)
Precisamos verificar se c cdot x é racional.
Aqui temos um problema: se c for um número irracional e x for racional, então c cdot x geralmente será irracional. Por exemplo, se c = raiz2 e x = 1 , então c cdot x = raiz2 , que não é racional.
Isso significa que c cdot u pode não estar em W , já que o primeiro componente pode ser irracional.

Resposta

Como W não é fechado sob multiplicação por escalar, W não é um subespaço de V = R^2 .

Exercícios relacionados