Exercício 7 Considere o espaço vetorial P3(R) sobre R e os vetores f(t)=t^3-1, g(t)=t^2+t-1
e h(t)=t+2.
(a) Calcule 2 f(t)+3 g(t)-4 h(t);
(b) Existe alpha in R de modo que f(t)+alpha g(t)=h(t) ?
(c) Existem ^1 e alpha de modo que beta ?

  1. f(t)=alpha g(t)+beta h(t) genilson.santana@uesb.edu.br

Passo 1

Neste exercício, estamos trabalhando no espaço vetorial P3(R) , que consiste em polinômios de grau no máximo 3 com coeficientes reais. Os vetores dados são f(t) = t^3 - 1 , g(t) = t^2 + t - 1 e h(t) = t + 2 . Precisamos realizar três tarefas:
a) Calcular 2f(t) + 3g(t) - 4h(t) .
b) Verificar se existe um número real alpha tal que f(t) + alpha g(t) = h(t) .
c) Verificar se existem números reais alpha e beta tais que f(t) = alpha g(t) + beta h(t) .
Para resolver essas questões, vamos manipular polinômios e usar propriedades de combinações lineares em espaços vetoriais.

Passo 2

Parte (a): Calcular 2f(t) + 3g(t) - 4h(t)

Primeiro, vamos calcular cada termo multiplicado pelos seus coeficientes:
2f(t) = 2(t^3 - 1) = 2t^3 - 2
3g(t) = 3(t^2 + t - 1) = 3t^2 + 3t - 3
-4h(t) = -4(t + 2) = -4t - 8
Agora, somamos esses resultados:
2t^3 - 2 + 3t^2 + 3t - 3 - 4t - 8
Vamos combinar os termos semelhantes:
  • Termo de t^3 : 2t^3
  • Termo de t^2 : 3t^2
  • Termos de t : 3t - 4t = -t
  • Termos constantes: -2 - 3 - 8 = -13
Então, 2f(t) + 3g(t) - 4h(t) = 2t^3 + 3t^2 - t - 13

Passo 3

Parte (b): Existe alpha in R tal que f(t) + alpha g(t) = h(t) ?

Queremos encontrar um valor de alpha que satisfaça a equação f(t) + alpha g(t) = h(t) .
Substituindo os polinômios:
t^3 - 1 + alpha(t^2 + t - 1) = t + 2
Vamos distribuir o alpha :
t^3 - 1 + alpha t^2 + alpha t - alpha = t + 2
Agora, vamos rearranjar os termos:
t^3 + alpha t^2 + alpha t - (1 + alpha) = t + 2
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo t , os coeficientes de cada termo de mesmo grau devem ser iguais. Assim, igualamos os coeficientes:
  1. Coeficiente de t^3 : 1 = 0 → Contradição, pois 1 ≠ 0.
Isso significa que não existe um valor real alpha que satisfaça a equação f(t) + alpha g(t) = h(t) .

Passo 4

Parte (c): Existem alpha e beta em R tais que f(t) = alpha g(t) + beta h(t) ?

Queremos encontrar valores de alpha e beta que satisfaçam a equação f(t) = alpha g(t) + beta h(t) .
Substituindo os polinômios:
t^3 - 1 = alpha(t^2 + t - 1) + beta(t + 2)
Distribuindo alpha e beta :
t^3 - 1 = alpha t^2 + alpha t - alpha + beta t + 2beta
Rearranjando os termos:
t^3 - 1 = alpha t^2 + (alpha + beta) t + (-alpha + 2beta)
Para que essa igualdade seja válida para todo t , os coeficientes de cada termo devem ser iguais:
  1. Coeficiente de t^3 : 1 = 0 → Contradição.
  2. Coeficiente de t^2 : alpha = 0
  3. Coeficiente de t : alpha + beta = 0
  4. Termo constante: -alpha + 2beta = -1
Já que o coeficiente de t^3 leva a uma contradição (1 ≠ 0), não existem valores reais alpha e beta que satisfaçam a equação f(t) = alpha g(t) + beta h(t) .

Resposta

a) 2f(t) + 3g(t) - 4h(t) = 2t^3 + 3t^2 - t - 13
b) Não, não existe alpha in R tal que f(t) + alpha g(t) = h(t) .
c) Não, não existem alpha e beta em R tais que f(t) = alpha g(t) + beta h(t) .

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