Exercício 7 Considere o espaço vetorial
sobre
e os vetores
e
.
(a) Calcule
;
(b) Existe
de modo que
?
(c) Existem
e
de modo que
?
-
genilson.santana@uesb.edu.br
e
(a) Calcule
(b) Existe
genilson.santana@uesb.edu.br
Passo 1
Neste exercício, estamos trabalhando no espaço vetorial
, que consiste em polinômios de grau no máximo 3 com coeficientes reais. Os vetores dados são
,
e
. Precisamos realizar três tarefas:
a) Calcular
.
b) Verificar se existe um número real
tal que
.
c) Verificar se existem números reais
e
tais que
.
Para resolver essas questões, vamos manipular polinômios e usar propriedades de combinações lineares em espaços vetoriais.
Passo 2
Parte (a): Calcular
Primeiro, vamos calcular cada termo multiplicado pelos seus coeficientes:
Agora, somamos esses resultados:
Vamos combinar os termos semelhantes:
-
Termo de
: -
Termo de
: -
Termos de
: -
Termos constantes:
Então,
Passo 3
Parte (b): Existe
tal que
?
Queremos encontrar um valor de
que satisfaça a equação
.
Substituindo os polinômios:
Vamos distribuir o
:
Agora, vamos rearranjar os termos:
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo
, os coeficientes de cada termo de mesmo grau devem ser iguais. Assim, igualamos os coeficientes:
- Coeficiente de
: → Contradição, pois 1 ≠ 0.
Isso significa que não existe um valor real
que satisfaça a equação
.
Passo 4
Parte (c): Existem
e
em
tais que
?
Queremos encontrar valores de
e
que satisfaçam a equação
.
Substituindo os polinômios:
Distribuindo
e
:
Rearranjando os termos:
Para que essa igualdade seja válida para todo
, os coeficientes de cada termo devem ser iguais:
- Coeficiente de
: → Contradição. - Coeficiente de
: - Coeficiente de
: - Termo constante:
Já que o coeficiente de
leva a uma contradição (1 ≠ 0), não existem valores reais
e
que satisfaçam a equação
.
Resposta
a)
b) Não, não existe
tal que
.
c) Não, não existem
e
em
tais que
.