Exercício 10 Considere
com as operações usuais. Os subconjuntos a seguir são subespaços de
?
;
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para verificar se o conjunto
é um subespaço de
. Para isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial. Basicamente, um subconjunto de um espaço vetorial é considerado um subespaço se ele satisfaz três condições: contém o vetor nulo, é fechado sob adição de vetores e é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o conjunto
contém o vetor nulo. O vetor nulo em
é
. Substituindo
e
na equação
, temos:
Então, o vetor nulo está em
.
Passo 3
Agora, vamos checar se
é fechado sob adição. Isso significa que, se pegarmos dois vetores quaisquer em
, a soma deles também deve estar em
. Suponha que temos
e
em
. Então:
Vamos somar os dois vetores:
E verificar se:
Distribuindo:
Portanto, a soma está em
.
Passo 4
Por último, vamos verificar se
é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que, se pegarmos um vetor
em
e multiplicarmos por um escalar
, o vetor
também deve estar em
. Sabemos que:
Multiplicando ambos os lados por
:
Logo,
satisfaz a equação e está em
.
Resposta
Sim, o conjunto
é um subespaço de
.