Exercício 10 Considere V=R^2, F=R com as operações usuais. Os subconjuntos a seguir são subespaços de V ?
W=(x, y) in R^2 mid-x+3 y=0;

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para verificar se o conjunto W = (x, y) in R^2 mid -x + 3y = 0 é um subespaço de V = R^2 . Para isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial. Basicamente, um subconjunto de um espaço vetorial é considerado um subespaço se ele satisfaz três condições: contém o vetor nulo, é fechado sob adição de vetores e é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o conjunto W contém o vetor nulo. O vetor nulo em R^2 é (0, 0) . Substituindo x = 0 e y = 0 na equação -x + 3y = 0 , temos:
-0 + 3 times 0 = 0
0 = 0
Então, o vetor nulo está em W .

Passo 3

Agora, vamos checar se W é fechado sob adição. Isso significa que, se pegarmos dois vetores quaisquer em W , a soma deles também deve estar em W . Suponha que temos (x1, y1) e (x2, y2) em W . Então:
-x1 + 3y1 = 0 e -x2 + 3y2 = 0
Vamos somar os dois vetores:
(x1 + x2, y1 + y2)
E verificar se:
-(x1 + x2) + 3(y1 + y2) = 0
Distribuindo:
- x1 - x2 + 3y1 + 3y2 = (-x1 + 3y1) + (-x2 + 3y2) = 0 + 0 = 0
Portanto, a soma está em W .

Passo 4

Por último, vamos verificar se W é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que, se pegarmos um vetor (x, y) em W e multiplicarmos por um escalar k , o vetor (kx, ky) também deve estar em W . Sabemos que:
- x + 3y = 0
Multiplicando ambos os lados por k :
- kx + 3ky = k(-x + 3y) = k times 0 = 0
Logo, (kx, ky) satisfaz a equação e está em W .

Resposta

Sim, o conjunto W = (x, y) in R^2 mid -x + 3y = 0 é um subespaço de V = R^2 .

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